《平面向量》章末基础测评(总分：150分；时间：120分钟)―、选择题(每小题5分，共60分)1.如图,AB DC AC =，与BD 相交于点,O 则相等的向量是（ ）A.AD 与CBB.OA 与OCC.AC 与DBD.DO 与OB2.将()223233a b a b b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫---+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦化成最简式为（ ） A.4533a b -+ B.45a b -+ C.4533a b - D.45a b -3.如图，已知空间四边形,ABCD 设G 是CD 的中点，则()12AB BD BC ++等于（ ）A.AGB.CGC.BCD.12BC4.设向量()(),4,1,,a x b x =-=-若向量a 与b 同向，则x =（ ）A.OB.-2C.2±D.25.在一平面内，线段AB 的中点为,M O 为线段AB 外一点，则（） A.()12OA OM MB =+ B.()12OB OM OA =+ C.()12OM MA MB =+ D.()12OM OA OB =+6.如图，点,A B 在圆C 上，则AB AC ⋅的值（ ）A.只与圆C 的半径有关B.只与弦AB 的长度有关C.既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关D.是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值7.如图，向量12,,e e a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量a 可用基底12,e e 表示为（ ）A.12e e +B.122e e -+C.122e e -D.122e e +8.点C 在线段AB 上，且2,5AC AB =若,AC BC λ=则λ等于（ ） A.23B.32C.23-D.32- 9.两个单位向量,a b 的夹角为120,则|2|a b +=（ ）A.2B.310.已知向量AB 与单位向量e 同向，且()()1,2,2,A B --则e 的坐标为（ ）A.12⎫⎪⎪⎝⎭B.122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.1,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭11.在ABC ∆中,BC 边上的中线AD 的长为2,BC =则AB AC ⋅=（ ）A.lB.2C.-2D.-112.已知,a b 是单位向量,0,a b ⋅=若向量c 满||1,c a b --=则||c 的取值范围是（ ）A.1⎤⎦B.2⎤⎦C.1⎡⎤⎣⎦D.2⎡⎤⎣⎦二、填空题(每小题5分，共20分)13.与向量()3,4a =平行的单位向量的坐标为___.14.如图，已知两个力的大小和方向，则合力的大小为___;N 若在图示坐标系中用坐标表示合力，则合力的坐标为___.15.已知向量()()1,2,,1,2,2,a b x u a b v a b ===+=-且//,u v 则实数x 的值为___.16.下列命题：①//a b ⇔存在唯一的实数,R λ∈使得;b a λ=②e 为单位向量，且//,a e 则||;a a e =±③3||||;a a a a ⋅⋅=④a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；⑤若a b b c ⋅=⋅且0,b ≠则.a c =其中正确命题的序号是___.三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知()()()1,0,0,1,2,5,A B C 求：(1)|2|;AB AC +(2)cos .BAC ∠18.(12分)(2018江西师范大学附属中学高一上学期期末，数学运算)已知向量 ()()2,1,3,1,a b =-=向量00,a b 分别为与向量,a b 同向的单位向量.(1)求向量a 与b 的夹角;θ(2)求向量002a b 的坐标.19.(12分)已知向量()()1,3,2,2.a b ==-(1)设2,c a b =+求();b a c -⋅(2)求向量a 在b 方向上的投影.20.(12分)在平面向量中有如下定理:设点O P Q R 、、、为同一平面内的点， 则P Q R 、、三点共线的充要条件是存在实数,t 使()1.OP t OQ tOR =-+试利用该定理解答下列问题：如图，在ABC ∆中，点E 为AB 边的中点，点F 在AC 边上，且2,CF FA BF =交CE 于点,M 设,AM xAE yAF =+求x y +的值.21.(12分)如图，已知,,A B C 为直角坐标系xOy 中的三个定点.(1)若点D 为ABCD 的第四个顶点，求||;BD(2)若点P 在直线OC 上，且4,PA PB ⋅=求点P 的坐标.22.(12分)已知向量a b 、满足||||1,||3|,0,.a b ka b a kb k k R ==+=->∈(1)求a b ⋅关于k 的解析式();f k(2)若//,a b 求实数k 的值；(3)求向量a 与b 夹角的最大值.参考答案一、选择题1.答案：D解析：因为,AB DC =所以四边形ABCD 为平行四边形.所以AC 与BD 的交点O 为BD 中点,.DO OB =2.答案：B 解析：原式224531112345.3333a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-++=-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 3.答案：A 解析：连接()1,,,2AG BG AB BD BC AB BG AG ++=+=故选A. 4.答案：D解析：因为()(),4,1,,a x b x =-=-且向量a 与b 同向，所以()(),41,,0,x k x k -=->所以4,,xk x k -=-⎧⎨=⎩解得 2.x = 5.答案：D解析：对于A,()11,22OM MB OB +=因为O 为平面内线段AB 外一点.所以OA 与 12OB 不一定相等,故错误;对于B,()()111222OM OA OA AM OA AM +=++=+ ,OA 所以与OB 不一定相等，故错误;对于C,因为0,MA MB O +=为平面内线段 AB 外一点，所以0,OM ≠故错误;对于D,OA OB OM MA OM MB +=+++= 2,OM 所以()1,2OM OA OB =+正确，故选D. 6.答案：B 解析：||2||||cos ,cos ,||AB AB AC AB AC CAB CAB AB AC AC ⋅=⋅⋅∠∠=∴⋅= 2||||2||||cos ||||.2||AB AB AB AC CAB AB AC AC ⋅⋅∠=⋅⋅=选B. 7.答案：B解析：以1e 的起点为坐标原点1,e 的方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，由题意可得()()()121,0,1,1,3,1,e e a ==-=-设()()121,01,1a xe ye x y =+=+-=(),,x y y -则3,1,x y y -=-⎧⎨=⎩解得2,1,x y =-⎧⎨=⎩故122.a e e =-+ 8.答案：C解析：因()22,55AC AB AC BC ==-所以32,55AC BC =-即2,3AC BC BC λ=-= 所以2.3λ=- 9.答案：D解析：两个单位向量,a b 的夹角为120,则1,2a b ⋅=-则|2|a b +===10.答案：B解析：设(),,e x y e =是单位向量22,1x y ∴+=①，由()()1,2,2A B ---得 (6,,AB =-因为向量AB 与单位向量e 同向,60y∴--=②，①②联立解方程组得21,2x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或,12221,2x e y ⎧=⎪⎛⎫⎪∴=- ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪=-⎪⎩或1,,22e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭又,AB e 方向相同31,,.22e ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭ll.答案：C解析：()()()()22AB AC AD DB AD DC AD DB AD DB AD BD ⋅=+⋅+=+⋅-=-= 462-=-.12.答案：A解析：令,,,OA a OB b OC c ===如图所示，则||2,OD =又||1,c a b --=所以点C 在以点D 为圆心,半径为1的圆上,易得点C 与,O D 共线时,||OC 取得最值，最大值为21,+最小值为21,-所以||c 的取值范围是21,21.⎡⎤-+⎣⎦二、填空题13.答案：见解析解析：设与向量()3,4a =平行的单位向量()()3,43,4,b λλλ==由单位向量的模为1，得()()221341,,5λλλ+=∴=±故与向量()3,4a =平行的单位向量的坐标为34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,.55⎛⎫-- ⎪⎝⎭14.答案：见解析解析：因为()()122,3,3,1,F F ==所以合力()()()122,33,15,4,F F F =+=+=所以合)N .=15.答案：见解析解析：因为()()1,2,,1,2,2,a b x u a b v a b ===+=-所以()()1,22,1u x =+= ()()()()21,4,21,2,12,3.x v x x +=-=-又因为//,u v 所以()()321420,x x +--=即105,x =解得1.2x = 16.答案：见解析解析：若a 为零向量，则①不成立.由于//,a e 所以||,a a e =±故②正确.根据向量数量积的运算可知③正确.当b 为零向量时，④不成立.根据向量数量积的概念可知⑤错误.故正确的为②③.三、解答题17.答案：见解析解析：(1)()()()()()()1,0,0,1,2,5,1,1,1,5,21,7,A B C AB AC AB AC ∴=-=∴+=- (|2|AB AC ∴+=-=(2)()222||11 2.||1AB AC =-+==+=且11154,AB AC ⋅=-⨯+⨯=cos 132||||AB ACBAC AB AC ⋅∴∠===⨯18.答案：见解析解析：(1)因为向量()()2,1,3,1,a b =-=所以|||23a b a b ==⋅=⨯+()115,-⨯=所以cos||||2a b a b θ⋅===又因为[]0,,θπ∈所以,4πθ=即向量a 与b 的夹角为.4π (2)由题意得()()0012,1,3,1||5||a b a b a b ⎫==-=-===⎪⎭,所以00.55a ⎛=-=-- ⎝⎭即向量00a 的坐标为⎛ ⎝⎭.19.答案：见解析解析：(1)由()()1,3,2,2,a b ==-可得()()()()2,62,24,4,1,5,c b a =+-=-=- 则()42016.b a c -⋅=-=-(2)向量a 在b 方向上的投影为||a b b ⋅== 20.答案：见解析解析：,,B M F 三点共线,∴存在实数,t 使得()1,AM t AB t AF =-+又2,AB AE = ()11,21,33AF AC AM t AE t AC =∴=-+又,,E M C 点共线()1,211,3t t ∴-+=解得 ()343437.21,,,.555555t AM t AE t AF AE AF x y x y =∴=-+=+∴==+= 21.答案：见解析解析：(1)因为()()()5,3,1,3,2,2,A B C --所以()()4,6,3,5,BA BC ==-所以||BD =2||1BA BC +==(2)因为点P 在直线OC 上，所以可设()2,2,OP OC λλλ==-所以PA = ()()52,32,12,32,PB λλλλ+-=+--所以()()5212PA PB λλ⋅=+++ ()()32324,λλ-⋅--=解得12λ=或-2.故点P 的坐标为()1,1-或()4,4.- 22.答案：见解析 解析：(1)由已知|||,ka b a kb +=-得)22|||,ka b a kb +=-即22k a + 22222363.ka b b a ka b k b ⋅+=-⋅+又2||||1,822,a b ka b k a b ==∴⋅=+∴⋅= 21,4k k +即()()210.4k f k k k+=> (2)21//,0,0,4k a b k a b k+>∴⋅=>则a 与b 同向.||||1,1,a b a b ==∴⋅= 即211,4k k+=整理得2410,2k k k -+=∴=±∴当2k =±,//.a b (3)设,a b 的夹角为,θ则21111cos ||||444a b k a b k a b k k θ⋅+⎛⎫==⋅==+= ⎪⎝⎭22,⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦当=即1k =时,cos θ取最小值12.又0,θπ≤≤所以此时.3πθ=即向量a 与b 夹角的最大值为.3π。