第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。

解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。

解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。

4．利用公式求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。

解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -=（n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。

7．求方程25610x x -+=的两个根，使它至少具有427.982=）。

解：25610x x -+=，故方程的根应为1,228x =故 1282827.98255.982x =≈+=1x ∴具有5位有效数字211280.0178632827.98255.982x =-=≈=≈+2x 具有5位有效数字8．当N 充分大时，怎样求1211N Ndx x ++⎰解121arctan(1)arctan 1N Ndx N N x+=+-+⎰设arctan(1),arctan N N αβ=+=。

则tan 1,tan .N N αβ=+=12211arctan(tan())tan tan arctan1tan tan 1arctan1(1)1arctan 1N N dx x N NN NN N αβαβαβαβ++=-=--=++-=++=++⎰g 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm 解：正方形的面积函数为2()A x x =(*)2*(*)A A x εε∴=g .当*100x =时，若(*)1A ε≤, 则21(*)102x ε-≤⨯ 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm 10．设212S gt =，假定g 是准确的，而对t 的测量有0.1±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。

解：21,02S gt t =>Q 2(*)(*)S gt t εε∴=g当*t 增加时，*S 的绝对误差增加2*2*(*)(*)*(*)1()2(*)2r S S S gt t g t t tεεεε===g当*t 增加时，(*)t ε保持不变，则*S 的相对误差减少。

11．序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=- (n=1,2,…),若0 1.41y =≈（三位有效数字），计算到10y 时误差有多大这个计算过程稳定吗解：0 1.41y =≈Q201(*)102y ε-∴=⨯又1101n n y y -=-Q 10101y y ∴=- 10(*)10(*)y y εε∴= 又21101y y =-Q 21(*)10(*)y y εε∴=220(*)10(*)......y y εε∴=101001028(*)10(*)1101021102y y εε-∴==⨯⨯=⨯计算到10y 时误差为81102⨯，这个计算过程不稳定。

12．计算61)f =≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好, 3(3-，99-解：设6(1)y x =-，若x =* 1.4x =，则*11102x -ε()=⨯。

计算y 值，则 ***7***7**1(1)6(1)y x x y x x y x ε()=--6⨯ε()+ =ε()+ =2.53ε()g若通过3(3-计算y 值，则**2******(32)632y x x y x xy x ε()=-3⨯2⨯-ε() =ε()- =30ε()g g计算y 值，则 ***4***7**1(32)1(32)y x x y x x y x ε()=--3⨯ε()+ =6⨯ε()+ =1.0345ε()g计算后得到的结果最好。

13．()ln(f x x =,求(30)f 的值。

若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大若改用另一等价公式。

ln(ln(x x =-计算，求对数时误差有多大 解()ln(f x x =Q, (30)ln(30f ∴=-设(30)u y f ==则*u =29.9833*412u -∴ε()=⨯10故****310.0167y u uu -1ε()≈-ε()30- =ε() ≈3⨯10g若改用等价公式ln(ln(x x =-则(30)ln(30f =- 此时，****7159.9833y u uu -1ε()=∣-∣ε()30+ =⋅ε()≈8⨯10第二章 插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。

解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 是-3l1 2．给出()ln f x x =的数值表用线性插值及二次插值计算ln0.54的近似值。

解：由表格知，01234012340.4,0.5,0.6,0.7,0.8;()0.916291,()0.693147()0.510826,()0.356675()0.223144x x x x x f x f x f x f x f x ======-=-=-=-=-若采用线性插值法计算ln0.54即(0.54)f ， 则0.50.540.6<<2112122111122()10(0.6)()10(0.5)()()()()()x x l x x x x x x l x x x x L x f x l x f x l x -==----==---=+6.93147(0.6) 5.10826(0.5)x x =---1(0.54)0.62021860.620219L ∴=-≈-若采用二次插值法计算ln0.54时，1200102021101201220212001122()()()50(0.5)(0.6)()()()()()100(0.4)(0.6)()()()()()50(0.4)(0.5)()()()()()()()()()x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x L x f x l x f x l x f x l x --==------==-------==----=++500.916291(0.5)(0.6)69.3147(0.4)(0.6)0.51082650(0.4)(0.5)x x x x x x =-⨯--+---⨯--2(0.54)0.615319840.615320L ∴=-≈-3．给全cos ,090x x ≤≤oo的函数表，步长1(1/60),h '==o若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界。

解：求解cos x 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x 是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数cos x 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。

因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。