ϕm = ∇ M

(2分）
) 2 − M ∇ϕm ]dV
∫ B(r ) H (r )dV= ∫ (µ
由于

0
H + µ0 M ) H (r )dV=
∫ µ [(∇ϕ
0
m
(3)
(∇ϕm ) 2 = ∇(ϕm∇ϕ m ) − ϕ m (∇ 2ϕ m ) ∇(ϕ m M ) − ϕ m∇ M M ∇ϕ m =
(1) (2) (3) (4)
(2分) (2分) (2分) (2分)
其中 Φ 0 为未放入导体半球时坐标原点的电势。 E0 为 R → ∞ 时 σ 0 所产生的电场强度：
E0 =
σ0 2ε 0
(2分)
ϕ 的通解为: = ϕ ( R, θ )
∑ (a R
n =0 n
∞
n
+
bn )Pn (cos θ ) (2分) (5) R n +1
γ1
γ2
γ2
j2 z
−
γ1
j1z
−σ − )=
ϕ 0ε 0 γ1
d1
d + 2 γ2
(
1
−
1
γ2

γ1
)(分）
4. （1）因为静磁场完全是由 V 内的永久磁化强度 M (r ) 决定，故 j = 0 ，所以场方程为
0 (2分） ∇ B = （1） 分） ∇ × = H 0 (2 场量 B, H 和 M 的关系为： B µ0 H + µ0 M =
2009-2010 场论考研试题及答案 一、 简答题（每小题 6 分，3 小题共 18 分） 1、(1) 简要叙述用镜像法求解静电场边值问题的基本思想和理论依据。 (2)镜像法中的镜像电荷是否可以放置在所求解的区域之内，为什么？ 2、写出引力场基本方程的积分形式、微分形式和边界条件。 3、写出理想电介质中麦克斯韦方程组的 4 个基本方程的微分表达式，并说明每 个方程的物理意义。 二、计算和证明题（6 小题，共 82 分） 1、 (10 分)半径为 a 的薄导体球壳在其内表面涂覆了一薄层绝缘膜。球内充满 总电荷量为 Q 的电荷，球壳上又充了电荷量 Q ，已知球内电场强度为
（3）试证明： ∫ B(r ) H (r )dV = 0 ，式中的积分遍及全部空间。
设其中分布有体 （传导） 电流密度 j ， 证明， 5. (5 分)均匀磁介质的磁导率为 µ ， 介质中
µ 分子电流体密度 j ' 满足：= j ' ( − 1) j 。
(1)两极板间的漏电电流强度 I ，电流密度 j 以及漏电电导；
z
P
θ
R0
o
ε1 , ε 2 ，电导率为 γ 1 , γ 2 ，截面积为 S ，如果两极板间电压为 ϕ0 ，求：
(2)两漏电媒质分界面上的自由电荷面密度 σ 和束缚电荷面密度 σ ' 。 4. (15 分)设一静磁场完全是由永久磁化强度 M (r ) 的定域分布产生的，
∞
ϕ |R = R =Φ 0 − E0 R0 cos θ + ∑
0
bn ϕ0 P (cos θ ) = n +1 n n =0 R ∞ b bn b ⇒ Φ 0 − E0 R0 cos θ + 0 + 12 cos θ + ∑ n ϕ0 P (cos θ ) = +1 n R0 R0 n = 2 R0 b0 ϕ0 Φ 0 + R = 0 = (ϕ0 − Φ 0 ) R0 b 0 b1 3 ⇒ − E0 R0 + 2 = 0 ⇒ b1 = E0 R0 (2分) R 0 = bn 0 (n ≥ 2) bn 0 (n ≥ 2) =
（2）半球面上的电荷面密度为：
∂ϕ 3 −ε 0 σ= |R = R = σ 0 cos θ (3分) ∂R
0
2
电荷总量为：
π
= Q
σ ds ∫=
∫ 2σ
0
2
3
0
cos θ 2π R02 sin = θ dθ
3 π R02σ 0 (2分) 2
3. （1）不考虑边缘效应，设极板间的漏电电流为 I,由于是稳恒电流分布，两种媒质中的电 流强度和电流密度相同。即
µ0
6. (12 分) 半径为 a 的圆形平板电容器， 两极板间距离为 d ,其间填充电导率为 γ 的非理 想均匀电介质，极板间接直流电压 U 0 ，略去边缘效应。 （1）计算极板间的电磁场及能流密度； （2）证明用玻印亭矢量计算和用电路理论计算的耗损功率相同。
答案
一、 简答题（每小题 6 分，3 小题共 18 分） 1.（1）基本思想：用假想的简单电荷（像电荷）分布来代替导体（或介质）表面上的感应 电荷（或极化电荷）分布，同时将导体（或介质）去掉，并代之以待求场区的介质；这样做 之后，只要能保持在原导体（或介质）表面所在的位置维持它本来的边界值不变，这时不在 直接求解泊松方程，在无边界的情况下，求解实电荷与像电荷共同产生的场。 （2 分） 理论依据：唯一性定理和叠加原理（2 分） （2）镜像法不可以放置在所求解的区域之内，因为这样引入镜像将使所求区域内的场源分 布发生变化， 进而位函数所满足的微分方程也发生变化， 所求的解不是原问题的解。 （2 分） 2. 引力场基本方程的积分形式
Q =
V
ρ dV ∫=
6ε 0 r 3 24πε 0 r 6 a 2 4 r dr π = = |0 4πε 0 a 2 4 4 ∫ 6 a a 0
a
球壳外表面的电荷面密度为： = σ
2Q 2ε 0 (2分) = 4π a 2
∞
（3）球壳的电势为 'd r ϕa ∫ E = =
∞ a a
2. （1）以球心为坐标原点，取对称轴为极轴，设导体外上半空间任意点的电势为 ϕ ，ϕ 与 方位角 α 无关。 ϕ 满足以下式子：
π 2 ϕ 0 ( R > R0且0 ≤ θ < ) ∇= 2 ϕ |R = R0 = ϕ0 π θ=2 ϕ | R > R0 = ϕ0 ϕ | R →∞ =Φ 0 − E0 R cos θ
将（5）式代入（4）式得：
a0 = Φ 0 ϕ |R →∞ =∑ an R Pn (cos θ ) =Φ 0 − E0 R cos θ ⇒ a1 =− E0 (2分) n =0 = an 0 (n > 1)
∞ n
∴ϕ =Φ 0 − E0 R cos θ +
由边界条件（2）得：
bn Pn (cos θ ) R n +1
（1）写出静磁场的场方程，以及使问题可解所必须的本构关系，即场与 M (r )
（2）用磁标势 ϕm (r ) 和 M (r ) 表示 B (r ) 和 H (r ) ，并求仅含 ϕm (r ) 和 M (r ) 的方
程；
之间的关系；
∴ϕ = Φ 0 − E0 R cos θ +
由边界条件（3）得：
2 ϕ |R > R = Φ0 +
0
R0 E R3 (ϕ0 − Φ 0 ) + 0 2 0 cos θ R R
θ=
π
R0 (ϕ0 − Φ 0 ) = ϕ0 ⇒ Φ 0 = ϕ0 (2分) R
所以：
ϕ= ϕ0 + (
3 3 E0 R0 R0 σ − E R ) cos = + ( − R) 0 cos θ (2分) θ ϕ 0 0 2 2 R R 2ε 0
r 4 E = er ( ) ，设球内介质为真空。试求： a （1）球内的电荷分布； （2）球壳的外表面的电荷分布； （3）球壳的电势； （4）球心的电势。
2. (25 分)电荷均匀分布在无穷大的导体平面上，电荷面密度为 σ 0 ，导体外是真 空， 现将一不带电的导体半球平放在 导体平面上，如图所示，已知导体的 电势为 ϕ0 ，导体球的半径为 R0 ，试 求： （1）导体外上半空间的电势； （2）半球面上的电荷量。 3、 （15 分）平行板电容器中充以两层漏 电媒质，其分界面为平行于极板的平面，厚度分别为 d1 和 d 2 ，介电常数为
二、计算和证明题（5 小题，共 82 分）
6ε 0 r 3 1 ∂ 2 1 ∂ 2 r4 1. 解： （1） ρ =ε 0∇ E =ε 0 [ 2 (r Er )] =ε 0 [ 2 (r 4 )] = 4 （2 分） r ∂r r ∂r a a
（2）由电位移矢量的法向边界条件得：
n D = σ ⇒ σ = D, (2分) 2Q ∫ Dd s = 2Q ⇒ D = 4π a 2
dr ∫ 4πε = r
2 a 0
2Q
Q = 2a 2πε 0 a
(2分)
∞ a r4 ∞ 2Q a ' （4）球心的电势为 ϕ0 =∫ E d r + ∫ E d r =∫ 4 dr + ∫ dr = + 2a =2.2a (2分) 2 4πε 0 r 5 a 0 0 a a
(2分）
（2）由于整个空间 ∇ × H = 0 ， j = 0 因此可引入磁标势 ϕ m (r ) ，可得：


H = −∇ϕm (1分） B= − µ 0 ∇ϕ m + µ 0 M
(1分）
（2）
2
将（2）式代入（1）式中的 ∇ B = 0 得： ∇ (3)

−n( p2 − p1 ) = −ez ( p2 − p1 ) = (ε1 ε 0 ) E1z − (ε 2 − ε 0 ) E2 z p1z − p2 z =− σ '= = −σ + ε 0 ( (ε1 E1z − ε 2 E2 z ) − ε 0 ( E1z − E2 z ) =