南开大学2015级“场论与无穷级数（信）”结课统考试卷 （A 卷） 2016年6月13日 草稿区
（说明：答案务必写在装订线右侧，写在装订线左侧无效。

影响成绩后果自负。

）
一、判定下列级数的敛散性(2054=⨯分): (1) ∑∞
=+-1
2
21
n n n ;
(2) ∑∞
=12
3
n n n ;
(3) )0(,)1
(
1
>+∑∞
=a n an n n
;
(4) ∑∞
=-+-1
11ln )1(n n n n
.
二、求幂级数
∑∞
=+0
)12(n n
x
n 的收敛域，并求其和函数。

（本题10分）.
三、求函数2
31
)(2++=
x x x f 在4-=x 处的泰勒展开.（本题10分） 草稿
四、求下列微分方程的通解或初值问题的解（每小题5分）： （1）034'
''=++y y y ；
（2）122'
+=+x y y
（3）x
e y y y 2'
'
'56=++；
（4）4
y x y dx dy +=;
（5）1)0(,0)1(2==++y dy x dx y ;
五、计算下列广义积分（每小题5分）： 草稿区
（1） ⎰
-1
2
31dx x
x ；
（2）
⎰
+1
32
3
)
1(x x dx
六、（本题9分）将函数)0(,1)(π≤≤+=x x x f 展开为正弦级数. .
场论与无穷级数（信）A4-3
七、（本题8分）讨论积分dx x x x F ⎰+∞
-+=
)
1()(αα的敛散性, 其中0>α. 草稿区
八、（8分）计算积分⎰-=2
/0
22)sin ln()(πdx x a a I ，其中1||>a .
场论与无穷级数（信）A4-4。