大学复变函数期末考试试卷及答案(理工科所有专业)
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
2
第 3 页 共 10 页
年
级
重庆××大学《复变函数》期末考试
专业：理工科 课程名：复变函数 考核方式：闭卷
专 业 ： 班 级 ： 姓 名 ： 学 号 ：
题号 一 二 三 四 五 总分 分数
评卷
人
装 线
订
一． 填空题（每小题4分，共24分）
1． =+++-)1
21
311Re(i i i .
2． 若函数())6()1(232222y x xy i y m xy x z f +-+--+=在复平面内处处解析，那么实常数m = 。

3．设C 为1<=r z ，那么⎰
--C z z dz
)
1)(1(3
2＝ 。

4．幂级数∑∞
=03n n
n
z 的收敛半径=R 。

5．设C 是沿2x y =自原点到i +1的曲线段，求dz
z C
⎰＝ 。

6．函数3
41
)(-=z z f 在0=z 处的泰勒级数为 。

二．单项选择题（每小题4分，共20分） 1．的主值为)1(i Ln -（）
A ．4
2ln
π
i
+ B. 4
2ln π
i
- C ．2ln 4i +π
D. 2ln 4
i -π
第 4 页 共 10 页
2．设2
2-+=
ni ni
n α),3,2,1(ΛΛ=n ,则=∞→n n αlim （ ）
A. 0；
B. 1；
C. -1+i ；
D. 1+i 。

3．满足不等式3211≤-+≤i z 的所有点z 构成的集合是（ ）。

A ．有界单连通区域； B. 无界单连通区域； C ．有界复连通闭域； D.无界复连通闭域。

4．下列函数中，不在复平面内解析的函数是( )
A.1
)(+=z e z f ； B ．-
=z z f )( ；
C
．n
z z f =)( ；
D ．)sin (cos )(y i y e z f x
+=。

5．下列级数中，条件收敛的级数是（）
A. ∑∞
=+0
8)56(n n
n
i ； B. ∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+-03)1(n n n i n ； C. ∑∞
=02
n n i
； D.
∑∞
=+0
)1(1n n i n . 三．计算题（每小题7分，共49分） 1．设i z 31+=求6
1z 。

第 5 页 共 10 页
2．判定函数)2()()(222y xy i x y x z f -+--=在何处可导，在何处解析。

3．计算积分⎰
-
C
dz z z 4
)2
(sin π，其中C ：2=z 。

4.计算积分⎰-++C z dz z i z e )34
(，其中C ：4=z 。

第 6 页 共 10 页
5.设,)1(2y x u -=试求解析函数iv u z f +=)(，使得i f -=)2(。

6.将函数)
2)(1(1
)(--=z z z f ，在圆环域21<<z 内展成洛朗级
数。

第 7 页 共 10 页
7.利用留数计算积分⎰--C z
dz i z z e )()1(2
，C 为正向圆周：2=z
四.证明函数yi x z f 2)(+=在复平面内不可导。

（7分）
第 8 页 共 10 页
参考答案
一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共21分）
1．109 ， 2. 4 ，3. 0 ，4. 1，5. -3或i ，6. ∑∞=-034)31(n n n n z ,4
3
<z 。

二、单项选择题(本大题共7小题，每小题3分，共21分)
1. B ，
2. B ，
3.C,
4. B,
5. B .
三、计算题（本大题共7小题，15-19每小题7分，20-21题8分，共51分） 1.解：由i z 31+=得：)3
sin 3(cos
2π
π
i z +=, （1分）
)6
24
sin 6
24
(cos 23166ππ
ππ
k i k i z k +++=+=, （3分）
所以)18sin 18(cos 260ππi z +=，)187sin 187(cos 261π
πi z +=，
)1813sin 1813(cos 262ππi z += ,)1819sin 1819(cos 263π
πi z +=
)1825sin 1825(cos 264ππi z +=,)18
31sin 1831(cos 265π
πi z += （7分）
2.
解
：
)
2()()(222y xy i x y x z f -+--=,则
)2(),(),(),(222y xy y x v x y x y x u -=--=,（1分）
y y
u x x u 2,12-=∂∂-=∂∂y x y v
y x v 22,2-=∂∂=∂∂,（5分）
只在2
1
=
y 处满足柯西-黎曼方程：
,y v x u ∂∂=∂∂,x v y u ∂∂-=∂∂（6分） 故)2()()(222y xy i x y x z f -+--=只在2
1
=y 处可导，处处不解析。

（7分）
3．由于2
π
=
z 包含在2=z 内，z sin 在2=z 内解析，（2分）
第 9 页 共 10 页
故由高阶导数公式得⎰
-
C
dz z z 4
)2
(sin π
=00)(sin !
32)3(==z z i
π （7分）
4．解：在C 内分别以i z z -==,3为圆心作两个互不相交的圆周21,C C ，（2分）
dz z dz i z e dz z i z e C C z C z ⎰⎰⎰-+-=-++2134
)34(（5分） =422i ie i ππ+-，（7分） 5．解：y x y x u )1(2),(-=，)1(2,2-=∂∂=∂∂x y
u
y x u ，),(),()(y x iv y x u z f +=解析，（1分）
满足柯西-黎曼方程：
,y v x u ∂∂=∂∂,x
v
y u ∂∂-=∂∂ （2分） )()21()1(22y g x x dx x dx x v +-=-=--=⎰⎰ （4分）
)('y g y v =∂∂又C y y g y y v
+==∂∂2)(,2故，由1)0(=f 可得1=c ，（6分） )1()1(2)(22++-+-=y x x i y x z f （7分）
6．解：1
1
21)2)(1(1)(---=--=
z z z z z f （1分）
因为21<<z ，则1||1,||12
z
z << （2分）
100
11111()2222212
n n n n n z z z z ∞∞
+===-=-=---∑∑，（4分） 01111111()()111n n
n n z z z z z z
∞∞=====--∑∑（6分）
第 10 页 共 10 页
2110111()()322
n n
n n n f z z z z z ∞
∞+====---+∑∑ （7分）
或23
23223411111()322222
z z z f z z z z z z ==---------+L L ．（8分）
7．2
)1)(()(--=z i z e z f z
在2=z 内有两个极点i z =和1=z ；
其中i z =是被积函数的一级极点，1=z 是被积函数的二级极点（2分）
22)1()1(lim )()((lim )),((Re -=-=-=→→i e z e z f i z i z f s i
z i z i z （4分） 2212
1)1()(lim )]()1[(lim )!12(1)1),((Re i i e
i z e z f z dz d z f s z z z --=-=--=→→ （6分） 由留数定理得：dz z i z e C z
⎰--2
)
1)((=)]1),(((Re )),(([(Re 2z f s i z f s i +π ][)1(2])1()1([22
22ei e i i
i ie i e i i i --=---=ππ（7分）
四、证明题（本大题共1小题，共7分） 证明：,),(x y x u =，
1=∂∂x
u
、0=∂∂y u ，，（2分） y y x v 2),(=、
0=∂∂x
v
、2=∂∂y v ，，（4分） 不满足
y v x u ∂∂=∂∂，x
v
y u ∂∂-=∂∂，（5分） yi x z f 2)(+=在整个复平面内处处不可导（7分）。