2019年福州市九年级质量检测数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分1.下列天气预报的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ).2.地球绕太阳公转的速度约为110 000千米/时，将110 000用科学记数法表示正确是( ). A.1.1×106 B. 1.1×105 C. 11×104 D. 11×1063.已知△ABC ∽△DEF ，若面积比为4:9，则它们对应高的比是( ). A.4：9 B. 16：81 C. 3：5 D.2：34.若正数x 的平方等于7，则下列对x 的估算正确的是( ). A.1<x <2 B. 2<x < 3 C.3<x <4 D. 4<x <55.已知a ∥b ，将等腰直角三角形ABC 按如图所示的方式放置，其中锐角顶 点B ，直角顶点C 分别落在直线a ，b 上，若∠1=15°，则∠2的度数是( ). A. 15° B. 22.5° C.30° D.45°6.下列各式的运算或变形中，用到分配律的是( ).A.23×32=66B.(ab )2= a 2b 2 C.由x +2=5得x =5－2 D. 3a +2a ＝5 a 7.不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的a 个白球、b 个红球、c 个黄球，则任意摸出一个球是红球的概率是( ). A.c a b + B. c b a c a +++ C. c b a b ++ D.bc a + 8.如图，等边三角形ABC 边长为5、D 、E 分别是边AB 、AC 上的点， 将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF =2， 则BD 的长是( ). A.724 B. 821 C. 3 D.2 9.已知Rt △ABC ，∠ACB =90，AC =3，BC =4，AD 平分∠BAC ，则点B 到射线AD 的距离是( ). A.2 B.3 C.5 D.310.一套数学题集共有100道题，甲、乙和丙三人分别作答，每道题至少有一人解对，且每人 都解对了其中的60道.如果将其中只有1人解对的题称作难题，2人解对的题称作中档题，CABDEA ．B ．C ．D ． (第8题)(第5题)A21 C Ba b3人都解对的题称作容易题，那么下列判断一定正确的是( ). A.容易题和中档题共60道 B.难题比容易题多20道 C.难题比中档题多10道 D.中档题比容易题多15道 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11.分解因式：m 3－4m =________.12.若某几何体从某个方向观察得到的视图是正方形， 则这个几何体可以是________.13.如图是甲、乙两射击运动员10次射击成城的折线统计图，则这10次射击成绩更稳定的运动员是________. 14.若分式56-+-m m 的值是负整数，则整数m 的值是________.15.在平面直角坐标系中，以原点为圆心，5为半径的⊙O 与线y=kx +2k +3(k ≠0)交于A ，B 两点，则弦AB 长的最小值是________.16.如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A 在第一象限， 点B 是x 轴正半轴上一点，∠OAB ＝45°，双曲线y =xk过 点A ，交AB 于点C ，连接OC ，若OC ⊥AB ，则tan ∠ABO 的值是________.三、解答题：本题共9小题，共86分17.(8分)计算：|－3|+3·tan30°－(3.14－π) °18.(8分)如图，已知∠1=∠2，∠B =∠D ，求证：CB=CD .(第13题)19. (8分)先化简，再求值：(1－x 1)÷2212xx x +-，其中x =3+120.(8分)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BD 平分∠ABC .求作⊙O ，使得点O 在边AB 上， 且⊙O 经过B 、D 两点；并证明AC 与⊙O 相切.(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)21.( 8分)如图，将△ABC 沿射线BC 平移得到△A'B'C'，使得点A'落在 ∠ABC 的平分线BD 上，连接AA'、AC '. (1)判断四边形ABB'A'的形状，并证明; (2)在△ABC 中，AB=6，BC =4，若AC ⊥A'B'， 求四边形ABB'A'的面积.22. ( 10分)为了解某校九年级学生体能训练情况，该年级在3月份进行了一次体育测试，决定对本次测试的成绩进行抽样分析. 已知九年级共有学生480人，请按要求回答下列问题：(1)把全年级同学的测试成绩分别写在没有明显差别的小纸片上，揉成小球，放到一个不透明的袋子中，充分搅拌后，随意抽取30个，展开小球，记录这30张纸片中所写的成绩得到一个样本，你觉得上面的抽取过程是简单随机抽样吗?答：________(填“是”或“不是”)若成绩为x分，当x≥90时记为A等级，80≤x<90时记为B等级，70≤x<80时记为C等级，x<70时记为D等级，根据表格信息，解答下列问题：①本次抽样调查获取的样本数据的中位数是________；估计全年级本次体育测试成绩在A、B两个等级的人数是________；②经过一个多月的强化训练发现D等级的同学平均成绩提高15分，C等级的同学平均成绩提高10分，B等级的同学平均成绩提高5分，A等级的同学平均成绩没有变化，请估计强化训练后全年级学生的平均成绩提高多少分?23.( 10分)某汽车销售公司销售某厂家的某款汽车，该款汽车现在的售价为每辆27万元，每月可售出两辆. 市场调查反映：在一定范国内调整价格，每辆降低0.1万元，每月能多卖一辆.已知该款汽车的进价为每辆25万元. 另外，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元：销售量在10辆以上，超过的部分每辆返利1万元. 设该公司当月售出x辆该款汽车.(总利润=销售利润十返利)(1)设每辆汽车的销售利润为y万元，求y与x之间的函数关系式；(2)当x>10时，该公司当月销售这款汽车所获得的总利润为20.6万元，求x的值24.(13分)在正边形ABCD 中， E 是对角线AC 上一点(不与点A 、C 重合)，以AD 、AE 为邻边作平行四边形AEGD ，GE 交CD 于点M ，连接CG . (1)如图1，当AE <21AC 时，过点E 作EF ⊥BE 交CD 于点F ，连接GF 并延长交AC 于点H . ①求证:EB=EF ;②判断GH 与AC 的位置关系，并证明.(2)过点A 作AP ⊥直线CG 于点P ，连接BP ，若BP =10，当点E 不与AC 中点重合时，求PA 与PC 的数量关系.25.(13分)已知抛物线y =－21(x +5)(x －m )(m >0)与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左边)， 与y 轴交于点C .(1)直接写出点B 、C 的坐标；(用含m 的式子表示) (2)若抛物线与直线y=21x 交于点E 、F ，且点E 、F 关于原点对称，求抛物线的解析式； (3)若点P 是线段AB 上一点，过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M ，交直线AC 于点N ，当 线段MN 长的最大值为825时，求m 的取值范围.参考答案一、ABDBC DCBCB二、11.m(m+2)(m －2) 12.正方体 13.甲 14.4 15.43 16. 215+ 三、17．解：原式31=-······························································· 6分311=+- ······································································· 7分 3=． ··········································································· 8分 18．证明：∵∠1=∠2，∴∠ACB =∠ACD ． ································ 3分 在△ABC 和△ADC 中，B D ACB ACD AC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∴△ABC ≌△ADC (AAS)， ··················································· 6分 ∴CB =CD ． ····································································· 8分 注：在全等的获得过程中，∠B ＝∠D ，AC ＝AC ，△ABC ≌△ADC ，各有1分．19．解：原式22121x x x x x--+=÷ ··························································· 1分 221(1)x x x x -=⋅- ································································ 3分 1x x =-， ······································································· 5分当1x =时，原式=··············································· 6分==． ··············································· 8分 20······································ 3分如图，⊙O 就是所求作的圆． ··················································· 4分 证明：连接OD ．∵BD 平分∠ABC ， ∴∠CBD =∠ABD ． ······················································ 5分 ∵OB =OD ，∴∠OBD =∠ODB ， ∴∠CBD =∠ODB ， ····················································· 6分2 1 C A B D∴OD ∥BC ，∴∠ODA =∠ACB 又∠ACB =90°， ∴∠ODA =90°， 即OD ⊥A C ． ······························································· 7分 ∵点D 是半径OD 的外端点， ∴AC 与⊙O 相切． ························································ 8分注：垂直平分线画对得1分，标注点O 得1分，画出⊙O 得1分；结论1分． 21．（1）四边形ABB ′A ′是菱形． ·························································· 1分证明如下：由平移得AA ′∥BB ′，AA ′=BB ′，∴四边形ABB ′A ′是平行四边形，∠AA ′B =∠A ′B C ． ········· 2分 ∵BA ′平分∠ABC ， ∴∠ABA ′=∠A ′BC ， ∴∠AA ′B =∠A ′BA ， ··············································· 3分 ∴AB =AA ′，∴□ABB ′A ′是菱形． ················································ 4分（2）解：过点A 作AF ⊥BC 于点F ．由（1）得BB ′=BA =6．由平移得△A ′B ′C ′≌△ABC ， ∴B ′C ′=BC =4， ∴BC ′=10． ························· 5分 ∵AC ′⊥A ′B ′， ∴∠B ′EC ′=90°， ∵AB ∥A ′B ′，∴∠BAC ′=∠B ′EC ′=90°．在Rt △ABC ′中，AC′8=． ······························· 6分 ∵S △ABC ′1122AB AC BC AF ''=⋅=⋅，∴AF 245AB AC BC '⋅=='， ····················································· 7分∴S 菱形ABB ′A ′1445BB AF '=⋅=，∴菱形ABB ′A ′的面积是1445． ············································· 8分22．（1）是； ················································································· 2分（2）①85.5；336； ······································································ 6分②由表中数据可知，30名同学中，A 等级的有10人，B 等级的有11人， C 等级的有5人，D 等级的有4人．依题意得，15410551101030⨯+⨯+⨯+⨯ ····································· 8分5.5=． ································································ 9分 ∴根据算得的样本数据提高的平均成绩，可以估计，强化训练后，全年 级学生的平均成绩约提高5.5分． ········································ 10分23．解：（1）27250.1(2)0.1 2.2y x x =---=-+； ···································· 4分（2）依题意，得(0.1 2.2)0.5101(10)20.6x x x -++⨯+⨯-=，··············· 7分解得1216x x ==． ···························································· 9分答：x 的值是16． ···························································· 10分注：（1）中的解析式未整理成一般式的扣1分．A C A' B' C' DF E24．（1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC=∠BCD=90°，CA平分∠BCD．∵EF⊥EB，∴∠BEF=90°．证法一：过点E作EN⊥BC于点N，·········· 1分∴∠ENB=∠ENC=90°．∵四边形AEGD是平行四边形，∴AD∥GE，∴∠EMF=∠ADC=90°，∴EM⊥CD，∠MEN=90°，∴EM=EN，················································· 2分∵∠BEF=90°，∴∠MEF=∠BEN，∴△EFM≌△EBN，∴EB=EF． ················································· 3分证明二：过点E作EK⊥AC交CD延长线于点K， ················· 1分∴∠KEC=∠BEF=90°，∴∠BEC=∠KEF，∵∠BEF+∠BCD=180°，∴∠CBE+∠CFE=180°．∵∠EFK+∠CFE=180°，∴∠CBE=∠KFE．又∠ECK=12∠BCD=45°，∴∠K＝45°，∴∠K=∠ECK，∴EC=EK， ················································· 2分∴△EBC≌△EFK，∴EB=EF． ················································· 3分证明三：连接BF，取BF中点O，连接OE，OC． ··············· 1分∵∠BEF=∠BCF=90°，∴OE=12BF=OC，∴点B，C，E，F都在以O为圆心，OB为半径的⊙O上．∵»»BE BE=，∴∠BFE=∠BCA=45°， ·····2分∴∠EBF=45°=∠BFE，∴EB=EF． ················································· 3分②GH⊥AC．········································································ 4分证明如下：∵四边形ABCD是正方形，四边形AEGD是平行四边形，∴AE=DG，EG=AD=AB，AE∥DG，∠DGE=∠DAC=∠DCA=45°，∴∠GDC=∠ACD=45°．······································ 5分由（1）可知，∠GEF=∠BEN，EF=EB．∵EN∥AB，CDGMFHBCDAEGMFOHGBCDAEMFKHBCDAEGMFNH∴∠ABE =∠BEN =∠GEF ， ∴△EFG ≌△BEA ， ················· 6分 ∴GF =AE =DG ，∴∠GFD =∠GDF =45°， ∴∠CFH =∠GFD =45°， ∴∠FHC =90°， ∴GF ⊥AC ． ······················································ 7分（2）解：过点B 作BQ ⊥BP ，交直线AP 于点Q ，取AC 中点O ，∴∠PBQ =∠ABC =90°． ∵AP ⊥CG ， ∴∠APC =90°．①当点E 在线段AO 上时，（或“当102AE AC <<时”）∠PBQ -∠ABP =∠ABC -∠ABP ，即∠QBA =∠PBC ． ··························· 8分∵∠ABC =90°， ∴∠BCP +∠BAP =180°．∵∠BAP +∠BAQ =180°，∴∠BAQ =∠BCP ． ··························· 9分∵BA =BC ，∴△BAQ ≌△BCP ， ·························· 10分 ∴BQ =BP =10，AQ =CP ，在Rt △PBQ 中，PQ==∴PA +PC =PA +AQ =PQ= ··································· 11分 ②当点E 在线段OC 上时，（或“当12AC AE AC <<时”）∠PBQ -∠QBC =∠ABC -∠QBC ， 即∠QBA =∠PBC ． ∵∠ABC =∠APC =90°，∠AKB =∠CKP ， ∴∠BAQ =∠BCP ． ·························· 12分 ∵BA =BC ， ∴△BAQ ≌△BCP ，∴BQ =BP =10，AQ =CP ， 在Rt △PBQ 中，PQ==∴PA -PC =PA -AQ =PQ= ········ 13分 综上所述，当点E 在线段AO 上时，PA +PC=当点E 在线段OC 上时，PA －PC=25．（1）B （m ，0），C （0，52m ）； ················································· 2分解：（2）设点E ，F 的坐标分别为（a ，2a ），（a -，2a -）， ·············· 3分代入25111(5)()(5)2222y x x m x m x m =-+-=-+-+，得22511(5)2222511(5)2222a a m a m a a m a m ⎧-+-+=⎪⎨⎪---+=-⎩，①，② ···································· 4分由①-②，得(5)m a a -=．∵0a ≠， ∴6m =，······································································ 5分 ∴抛物线的解析式为2111522y x x =-++． ····························· 6分（3）依题意得A （5-，0），C （0，52m ），由0m >，设过A ，C 两点的一次函数解析式是y kx b =+，将A ，C 代入，得5052k b b m -+=⎧⎪⎨=⎪⎩．，解得1252k m b m ⎧=⎪⎨⎪=⎩，， ∴过A ，C 两点的一次函数解析式是5122y mx m =+． ················· 7分设点P （t ，0），则5t m -剟（0m >），∴M （t ，2511(5)222t m t m -+-+），N （t ，5122mt m +）．①当－5<t ≤0 50t -剟时，∴MN 255111(5)()22222t m t m mt m =-+-+-+25122t t =--． ······················································· 8分 ∵102-<，∴该二次函数图象开口向下，又对称轴是直线52t =-，∴当52t =-时，MN 的长最大，此时MN 2555251()()22228=-⨯--⨯-=． ···························· 9分②当0<t ≤m 时，∴MN 255111[(5)]22222mt m t m t m =+--+-+25122t t =+． ········· 10分∵102>，∴该二次函数图象开口向上， 又对称轴是直线52t =-，∴当0<t ≤m 时，MN 的长随t 的增大而增大，∴当t m =时，MN 的长最大，此时MN 25122m m =+． ············ 11分∵线段MN 长的最大值为258，∴82525212≤+m m ， ····················································· 12分 整理得450)25(2≤+m ，由图象可得2255--≤m ≤2255+-∵0m >，∴m 的取值范围是0<m ≤2255+-． ·································· 13分。