3、平面运动刚体的运动微分方程
平面运动刚体的运动微分方程
y x C ''：过质心平移参考系
平面运动
随质心平移 绕质心转动
()
()e e ()C C C ma F
J M F α⎫=∑⎪⎬=∑⎪⎭()()2
e 22
e 2d d d ()
d C C C r m F t
J M F t ϕ⎫=∑⎪⎪⎬⎪=∑⎪⎭投影式： ()
()()e e e ()Cx x
Cy y C C ma F ma F J M F α⎫=∑⎪⎪=∑⎬⎪=∑⎪⎭()
()()e t
e n
e ()C
t C n C C ma F ma F J M F α⎫
=∑⎪⎪=∑⎬
⎪=∑⎪⎭
以上各组均称为刚体平面运动微分方程
平面运动刚体的运动微分方程
已知：半径为r ，质量为m 的均质圆轮沿水平直线滚动，
如图所示.设轮的惯性半径为
，作用于轮的力偶矩为M .求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f ，问力偶M 必须符合什么条件不致使圆轮滑动?
C 例 1
M
平面运动刚体的运动微分方程
解： N 2
Cx Cy C ma F
ma F mg m M Fr ρα⎫
=⎪
=-⎬
⎪=-⎭
()
()2
2
22
N ,,
,C
C C C F r Mr
a M r m r F ma F mg
ρρ+==+==纯滚动的条件： s N
F f F ≤即
2
2s C
r M f mg
ρ
+≤C a 0C a r α
=分析圆轮，受力和运动情况如图所示。

由平面运动刚体运动微分方程：
平面运动刚体的运动微分方程例
2
已知：均质圆轮半径为r 质量为m，受到轻微扰动后，
在半径为R 的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够
粗糙，使圆轮在滚动时无滑动.
求:质心C 的运动规律.
平面运动刚体的运动微分方程
t C
a r
α=解: t sin C
ma F mg θ
=-C J Fr
α=-θcos 2mg F r R v m N C -=-()θ
r R s -=0d d 232
2
=-+s r
R g
t s )sin(00βω+=t s s ()
r R g -=
322
0ω0,0v s
== s 初始条件 ()
g
r R v s 23,00
0-==
β运动方程为
()⎪⎫ ⎛⋅-=t g
r R v s 2sin 30
分析圆轮，受力和运动情况
如图所示。

()t
21,,sin 2
C C a S
J mr θθθ==≈很小s
平面运动刚体的运动微分方程例3
已知：如图所示均质圆环半径为r，质量为m，其上焊接
刚杆OA，杆长为r，质量也为m。

用手扶住圆环使其在OA
水平位置静止。

设圆环与地面间为纯滚动。

求：放手瞬时，圆环的角加速度，地面的摩擦力及法向
约束力。

A
O
平面运动刚体的运动微分方程
解: 整体质心为C ，其受力
如图所示。

平面运动微分方程 Fr
r
F J F mg ma F ma N C N Cy s
Cx -⋅=-==4222α其中： 22
2
24
29)4()4(1222mr r m mr r m mr J C =+++=由基点法有 t
co
n co O C a a a a ++=αα
r a
a r a a t
CO
Cy O Cx 4
1====r
g 203=
αmg
F mg
F N s 40
77103==F S。