由泊松定理：
v 1 U J V J Jv r r 1 r M r M ( 2 ) 3 （2 1 3） r r r
1 1 1 (v / r ) v v v r r r
Jv M
因为
2
l r
,略去比
l r
的方次更高的项，得
r l 1 cos r 2r
同样可得
r l 1 cos r 2r
故得出磁偶极子场的磁标势的公式:
0 ql cos 0 M cos 0 M r U 2 2 4r 4r 4r 3
§2.1西蒙诺夫理论 （地心倾斜磁偶极子场 的解析式）
一般 特殊 均匀磁化物体的磁场 场 磁场） （元磁铁的组合， 合
均匀磁化球体磁 （磁偶极子 地心倾斜和地心重
一、泊松定理 泊松定理—一个均匀磁化物体的磁标势U，可用磁化强度 J (单 位体积的磁矩)与这个物体的引力位V的梯度的标量积的负值来 表示。用公式描述为
U J V （2 1 1 ）
和倾角测量资料组织在一个统一的框架之下，描绘在一个 内部环境与地球表面环境相同的太空舱中，结果发现，地 球表面磁场的分布与位于地心的一个条形磁铁所长生的磁 场非常相似
1）地磁场相似位于地心的一个条形磁铁所产生的磁场
2）地磁场起源于地球内部。
B. 1835年西蒙诺夫：地球磁场是一个其磁轴通过 地球中心的均匀磁化球体的磁场，首次给出地 磁场（偶极子场）的解析表达式 C. 1839年高斯：完全不管产生磁场的物理原因， 把球谐分析理论用于地磁场研究，把地磁场表 示为地理坐标的函数，奠定了地磁学的理论基 础 D. 1885年施密特又发展了地磁场的球谐分析方法， 引入施密特缔合勒让德函数
0 q 1 1 U 4 r r
下面是该势的具体推导简化过程
r 为Q 点(+q位置)到观察点M的距离 r 为 Q '点(-q位置)到M点的距离
r
为 QQ ' 的中点到M的距离。
将r+ , r- 转换为它们与r 的关系, 2 l 由余弦定理得 2 2
在电磁学中，磁偶极子磁标势为 4r SI）， M r 所以 r emu）
3
0 M r
3
（国际单位制
是一个磁偶极子的磁标势（电磁单位制
结论：一个均匀磁化球体在球外一点的磁标势，等于 一个放在地心共轴（偶极磁轴与地理轴重合）磁偶极子 所产生的磁标势。
2. 球心共轴磁偶极子的磁场 球心共轴—磁心和地心重合，偶极轴与地球自转 轴重合 磁标势为： Θ为地磁余纬，地磁余纬将在后面讲到，在这里 我们先引用。由于球心共轴，所以地磁余纬和地 理余纬是相同的。 HT (r, , ) 为磁场强度与标量磁位U有如下的关系：
（2 1 2）
其中
V
dv l
证明： J 为磁化强度，在dv体积元内的元磁矩 dM Jdv, dM 可视为一个磁偶极子,它在P点的磁标势为：
dU
dM l
l
3

J l
l
3
1 dv J ( )dv l
1 l ( ) 3 l l
磁偶极子的磁标势
(1) 定义—— 一对十分靠近且带等量异性磁 荷(+q和-q)所组成的磁荷体系称为磁偶极 子。（一个单独的点磁荷称为单极子）
矢量 l 的大小为正负磁荷之间的距离, 方向规 定为从负磁荷指向正磁荷。
M ql ，称为偶极子的偶极矩
(2) 偶极子的磁标势:
+q和-q磁荷在M点的势为:
M cos( M , r ) M cos U 2 2 4r 4r
H T U
又在球坐标系下：
1 1 er e e r r r sin
在球心共轴的条件下，可以写为
二、均匀磁化球体的磁标势， 磁场和磁偶极子力线方程。 1.磁标势： 当r> R 时，球体引力位
dv v V l r
v为球体体积。
dv v V v l r
的直观上的证明：
从数学上讲，积分的实质是求和，球体在P点的引力位 为球体上各个体积元在P点的引力位的叠加，而关于球心 对称的任何两个体积元在P点的引力位的叠加等效于位于 球心的大小为这两个体积元之和的体积元在P点的引力位。
第二章 地球主磁场的解析 表示
§2.1 析
西蒙Байду номын сангаас夫理论 （地心倾斜磁偶极子场的解 式）
§2.2
§2.3
地磁场的高斯理论
主磁场数学表达式，国际地磁参考场
在地磁场的研究中，存在两个重要的问题：
第一，能不能找到一个适当的数学表达式把地磁要素的 地面分布表示成地理坐标的函数;
第二，地磁场到底是起源于地球内部还是地球外部。
l
为体积元Q到P的距离矢量。
证明
整个磁化体在P点的磁势：
1 U dU J ( )dv v v l
∵J均匀，积分和求梯度是分别对Q、P二点坐标进行，故可交 换顺序。 dv ∴ U J J V
V 其中， dl v l
l
v
,从本质上讲，V是一个匀质物体的引力位，G=1/ρ， 仅只单位不同。
r r rl cos 2
1 2
因此有
2 r l l 1 cos r 2r r
3 l2 1 l2 l l 1 cos cos 2 2 2 4r r r 8 4r
解决第一个问题，不仅对地磁场的分布可以给出精确的、 定量的表示形式，而且对地磁场的构成可以获得全面而深刻的 认识。 弄清第二个问题，正是进一步从理论上解决地磁场成因问 题的基础。
吉尔伯特《磁体论》→西蒙诺夫理论→高斯球谐分析→高斯-施密特理论
A.吉尔伯特 1600年 的《磁体论》：把分散地点的地磁偏角