专题33 探索规律问题☞【2015 年题组】1．（2015 绵阳）将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=（）A．14B．15C．16D．172答案】C ．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．2．（ 2015 十堰）如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴 棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2016 根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形【答案】D ． 【解析】试 题分析：设连续搭建 三角形 x 个，连 续搭建正六边形 y 个 ．由题意得 ，2x +1+ 5y +1 = 2016，解得：x -y = 6考点：规律型：图形的变化类．3．（ 2015 荆州）把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），（3，5，7），（ 9， 11，13，15，17），（19，21，23，25，27，29，31）， …，现有等式 Am =（i ，j ）表示正奇 数m 是第i 组第j 个数（从左往右数），如A 7=（2，3），则A 2015=（ ）A ．（ 31，50）B ．（ 32，47）C ．（ 33，46）D ．（ 34，42）答案】B ．解析】 试题分析：2015是第20125+1=1008个数，设2015在第n 组，则1+3+5+7+…+（2n ﹣1）≥1008，即(1+ 2n-1)n1008，解得：n 1008 ，当 n =31 时，1+3+5+7+…+61=961 ；当 n =32时，1+3+5+7+…+63=1024；故第 1008 个数在第 32 组，第 1024 个数为：2×1024﹣1=2047，2015 -1923第 32 组的第一个数为：2×962﹣1=1923，则2015 是( 2015 -1923 +1)=47 个数．故A2015=x = 292 x y==229826．故选D ．（32，47）．故选B．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．压轴题．9 169，16，…，按你发现的规律计算这列数的第67 15考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．5．（2015 重庆市）下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有6 个小圆圈，第②个图形中一共有9 个小圆圈，第③个图形中一共有12 个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为（）A．21 B．24 C．27 D．30【答案】B．【解析】试题分析：观察图形得：第1个图形有3+3×1=6 个圆圈，第2 个图形有3+3×2=9个圆圈，第 3 个图形有3+3×3=12 个圆圈，…，第n个图形有3+3n=3（n+1）个圆圈，当n=7 时，3×（7+1）=24，故选B．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．4．（2015 包头）观察下列各数：1，43个数为（）25364A． B ．C．31357【答案】C．D．62632根据此规律确定 x 的值为（ ） A ．135 B ．170C ．209D ．252【答案】C ． 【解析】试 题 分 析 ： ∵ a + （ a +2 ） =20 ， ∴ a =9 ， ∵ b = a +1 ， ∴ b = a +1=9+1=10 ， ∴x =20b +a =20×10+9=200+9=209，故选 C ． 考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．7．（ 2015 重庆市）下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图①中有 2【答案】B ．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．8．（ 2015 崇左）下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第 4 个图形中所有正三角形的 个数有（ ）A ．160B ．161C ．162D ．163 答案】B ． 解析】试题分析：第一个图形正三角形的个数为 5，A ．32 C ．28B ． 29 D ．26图④中有11个黑色第二个图形正三角形的个数为5×3+2=17，第三个图形正三角形的个数为17×3+2=53，第四个图形正三角形的个数为53×3+2=161，故答案为：161．考点：1．规律型；2．综合题．9．（2015 贺州）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，…，解答下面问题：2+22+23+24+…+22015﹣1 的末位数字是（）A．0 B．3 C．4 D．8【答案】B．考点：1．尾数特征；2．规律型；3．综合题．10．（2015宜宾）如图，以点O为圆心的20个同心圆，它们的半径从小到大依次是1、2、3、4、…、20，阴影部分是由第1个圆和第2 个圆，第3 个圆和第4 个圆，…，第19个圆和第20个圆形成的所有圆环，则阴影部分的面积为（）答案】B．解析】试题分析：由题意可得：阴影部分的面积和为：(22-12)+(32-22)+...+(202-192)=3π+7π+11π+15π+…+39π=5(3π+39π)=210π．故选B．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．11．( 2015 鄂州)在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1 的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015 的边长是( )A．（1）2014B．（1）2015C．（3）2015 D．（3）20142 23 3A．231πB．210πC．190πD．171π答案】D．考点：1．正方形的性质；2．规律型；3．综合题．12．（2015 庆阳）在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1 是边长为2 的等边三角形，作△B2A2B1 与△OA1B1 关于点B1 成中心对称，再作△B2A3B3 与△B2A2B1 关于点B2 成中心对称，如此作下去，则△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1 的坐标是（）A．（4n﹣1，3 ）B．（2n﹣1，3）C．（4n+1，3）D．（2n+1，3）【答案】C．…，∵1=2×1﹣1，3=2×2﹣1，5=2×3﹣1，7=2×3﹣1，…，∴An的横坐标是2n﹣1，A2n+1 的横坐标是2（2n+1）﹣1=4n+1，∵当n为奇数时，An的纵坐标是3，当n为偶数时，An的纵坐标是- 3 ，∴顶点A2n+1 的纵坐标是3 ，∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1 的坐标是（4n+1，3 ）．故选C．考点：1．坐标与图形变化-旋转；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．13．（2015宁德）如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y= x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1=1，则点B2015 的坐标是（），22015 )【答案】A．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．等腰直角三角形；3．规律型；4．综合题．14．（2015 河南省）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆O1、O2、O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2015 秒时，点P的坐标是（）2A．（2014，0）B．（2015，﹣1）C．（2015，1）D．（2016，0）【答案】B．【解析】试题分析：半径为 1 个单位长度的半圆的周长为：121=，∵点P从原点O出发，21 沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，∴点P1秒走1个半圆，当点P从原点O22 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1 秒时，点P的坐标为（1，1），当点P从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 2 秒时，点P的坐标为（2，0），当点P从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P的坐标为（3，﹣1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 4 秒时，点P的坐标为（ 4 ，0），当点P从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 5 秒时，点P的坐标为（ 5 ，1），当点P从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为 6 秒时，点P的坐标为（6，0），… ，∵2015÷4=503…3，∴A2015 的坐标是（2015，﹣1），故选B．考点：1．规律型：点的坐标；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．15．（2015张家界）任意大于1的正整数m的三次幂均可“分裂”成m个连续奇数的和，如：23=3+5，33=7+9+11，43= 13 +15 +17 +19 ，…按此规律，若m3分裂后其中有一个奇数是2015，则m的值是（）A．46 B．45 C．44 D．43【答案】B．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题．16．（2015 邵阳）如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2015 次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A．2015πB．3019.5πC．3018πD．3024π答案】D．解析】903 3 90 5 5试题分析：转动一次A 的路线长是：903= 3，转动第二次的路线长是：905 = 5，1802 180 290 4转动第三次的路线长是：904= 2，转动第四次的路线长是：0，转动五次A 的路线长 18090 3 3是：903= 3，以此类推，每四次循环，故顶点 A 转动四次经过的路线长为： 180 23 5++2π =6π ，2015÷4=503 余 3 ，顶点 A 转动四次经过的路线长为：6 π ×504=3024 π．故22考点：1．旋转的性质；2．弧长的计算；3．规律型．17．（ 2015 威海）如图，正六边形 A 1B 1C 1D 1E 1F 1 的边长为 2，正六边形 A 2B 2C 2D 2E 2F 2 的外接圆与正六边形 A 1B 1C 1D 1E 1F 1 的各边相切，正六边形 A 3B 3C 3D 3E 3F 3 的外接圆与正 六边形 A 2B 2C 2D 2E 2F 2 的各边相切，…按这样的规律进行下去，A 10B 10C 10D 10E 10F 10 的【答案】D．A ．22493B ．81293C ． 812981 328边长为（ ）考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．18．( 2015 日照)观察下列各式及其展开式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a + b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a + b)4=a4+ 4a3b + 6a2b2+ 4ab3+b4；(a + b)5= a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；请你猜想(a + b)10的展开式第三项的系数是( ) A．36 B．45 C．55 D．66【答案】B．考点：1．完全平方公式；2．规律型；3．综合题．19．（ 2015 宁波）如图，将△ABC 沿着过 AB 中点 D 的直线折叠，使点 A 落在 BC 边上的 A 2 处，称为第 1 次操作，折痕 DE 到 BC 的距离记为 h 1；还原纸片后，再将△ADE 沿着过 AD 中点 D 1 的 直线折叠，使点 A 落在 DE 边上的 A 2 处，称为第 2 次操作，折痕 D 1E 1 到 BC 的距离记为 h 2；按上述方法不断操作下去…，经过第 2015 次操作后得到的折痕 D 2014E 2014 到 BC 的距离记为 h 2015，到 BC 的距离记为 h 2015．若 h 1=1，则 h 2015 的值为答案】D ．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理；3．翻折变换（折叠问题）；4．规 律型；5．综合题．20．（ 2015 常州）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想． 4=2+2；12=5+7；C ． 1-12015D ． 2-120146=3+3；14=3+11=7+7； B ． 2014A20158=3+5；16=3+13=5+11；10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；通过这组等式，你发现的规律是 (请用文字语言表达)．【答案】所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和．【解析】试题分析：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，故答案为：所有大于 2 的偶数都可以写成两个素数之和．考点：规律型：数字的变化类．21．( 2015 淮安)将连续正整数按如下规律排列：若正整数565 位于第a行，第b列，则a+b=答案】147．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．压轴题．22．( 2015 雅安)若m1，m2 ，…，m2015是从0，1，2 这三个数中取值的一列数，若m1+ m2+ ... + m2015=1525，(m -1)2+ (m -1)2+...+(m -1)2= 1510 ，则m1，m2，…，m2015中为2的个数是．【答案】510．【解析】试题分析：∵ m1 ，m2 ，…，m2015是从0，1，2 这三个数中取值的一列数，∴(m i -1)2的值只能是1或0，∵(m1-1)2+(m2-1)2+...+(m2015-1)2= 1510 ，∴ m1 ，m2 ，…，m2015 中值为1的个数为：2015－1510=505，∵(m1-1)2+(m2-1)2+...+(m2015-1)2= 1510 ，∴ m - 2m +1+ m - 2m +1+...+ m- 2m +1=1510 ，∴ m2+ m2+ ... + m2- 2( m + m + ... + m ) + 2015 = 1510 ，∵m +m +...+m =1525，∴ m2+ m2+...+m2=2545，∵m12+m22+...+m20152=2545，02=0，12=1，22= 4 ，∴ m1 ，m2 ，…，m2015中值为2 的个数为：( 2545－505 ) ÷4=510 ．故答案为：510．考点：1．规律型：数字的变化类；2．规律型；3．综合题；4．压轴题．23．( 2015 桂林)如图是一个点阵，从上往下有无数多行，其中第一行有2个点，第二行有5个点，第三行有11个点，第四行有23个点，…，按此规律，第n行有个点．【答案】32n-1-1或(2n+2n-1-1)．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．24．( 2015 梧州)如图是由等圆组成的一组图，第①个图由1 个圆组成，第②个图由5 个圆组成，第③个图由12个圆组成…按此规律排列下去，则第⑥个图由个圆组成．【答案】51．【解析】试题分析：根据图形可得第n个图形一定有n排，最上边的一排有n个，下边的每排比上边的一排多1个，故第⑥个图形中圆的个数是：6+7+8+9+10+11=51．故答案为：51．考点：规律型：图形的变化类．25．（2015 百色）观察下列砌钢管的横截面图：32 3 【答案】 n 2+ n ．22考点：1．规律型：图形的变化类；2．规律型；3．综合题．26．（ 2015 北海）如图，直线 y = -2x + 2与两坐标轴分别交于 A 、B 两点，将线段 OA 分成 n 等份，分点分别为 P 1，P 2，P 3，…，Pn ﹣1，过每个分点作 x 轴的垂线分别交直线 AB 于 点 T 1，T 2，T 3，…，Tn ﹣1，用S 1，S 2，S 3，…，Sn ﹣1 分别表示 Rt △T 1OP 1，Rt △T 2P 1P 2，…， Rt △Tn ﹣1Pn ﹣2Pn ﹣1 的面积，则当 n =2015 时，S 1+S 2+S 3+…+Sn ﹣1=．则第 n 个图的钢管数是用含n 的式子表示）解析】 试题分析：∵P 1，P 2，P 3，…，Pn ﹣1 是x 轴上的点，且OP 1=P 1P 2=P 2P 3=…=Pn ﹣2Pn ﹣1 1= ，n分别过点 p 1、p 2、p 3、…、pn ﹣2、pn ﹣1作 x 轴的垂线交直线y = -2 x + 2于点 T 1，T 2， T 3，…，Tn ﹣1，∴T 1 的横坐标为： ，纵坐标为： 2 - ，∴S 1=(2 -)= (1 - ) ， n n 2 nnnn2 4 12同理可得：T 2 的横坐标为： ，纵坐标为： 2 - ，∴S 2= (1 - ) ，n n nnT 3 的横坐标为： ，纵坐标为： 2 - ，S 3= (1 - ) ，n n nnSn ﹣1= 1 (1- n-1) )， nn∴S 1+S 2+S 3+…+Sn ﹣1= [n -1- (n -1)] =(n -1)= n 2 2 n 2 n11 1007∵n =2015，∴S 1+S 2+S 3+…+S 2014= 2014= ． 2 2015 2015考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型；3．综合题．27．( 2015南宁)如图，在数轴上，点 A 表示 1，现将点 A 沿 x 轴做如下移动，第一次点 A 向左移动 3 个单位长度到达点 A 1，第二次将点 A 1向右移动 6 个单位长度到达点 A 2，第三1007 2015故答案为：10072015 答案】次将点A2 向左移动9 个单位长度到达点，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点An，如果点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．【答案】13．则A 7 表示的数为﹣8﹣3=﹣11，A9 表示的数为﹣11﹣3=﹣14，A11 表示的数为﹣14﹣3=﹣17，A13 表示的数为﹣17﹣3=﹣20，A6 表示的数为7+3=10，A8 表示的数为10+3=13，A10 表示的数为13+3=16，A12 表示的数为16+3=19，所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．故答案为：13．考点：1．规律型：图形的变化类；2．数轴；3．综合题．28．（2015 常德）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3 加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．最少经过下面5步运算可得1，即：，如果自然数m最少经过7 步运算可得到1，则所有符合条件的m的值为【答案】128、21、20、3．考点：1．规律型：数字的变化类；2．综合题；3．规律型．29．（ 2015 株洲）“皮克定理”是用来计算顶点在整点的多边形面积的公式，公式表达式为 S = a + b-1，孔明只记得公式中的 S 表示多边形的面积，a 和 b 中有一个表示多边形边上2 （含顶点）的整点个数，另一个表示多边形内部的整点个数，但不记得究竟是 a 还是b 表示 多边形内部的整点个数，请你选择一些特殊的多边形（如图 1）进行验证，得到公式中表示 多边形内部的整点个数的字母是 ，并运用这个公式求得图 2 中多边形的面积 是 ．答案】a ，17.5．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．30．( 2015内江)填空：(a - b)(a + b) = ；( a - b)( a + ab + b )= ；(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)= ．(2)猜想：(a-b)(a n-1+a n-2b+...+ab n-2+b n-1)= (其中n为正整数，且n2)．(3)利用(2)猜想的结论计算：29- 28+27-...+23-22+2．【答案】(1) a2-b2，a3-b3，a4-b4；(2) a n -b n；( 3)342．【解析】试题分析：(1)根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可； (2)根据(1)的规律可得结果；(3)原式变形后，利用(2)得出的规律计算即可得到结果．试题解析：(1)(a-b)(a+b)=a2-b2；(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a3-b3；(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4；故答案为：a2-b2，a3-b3，a4-b4；考点：1．平方差公式；2．规律型；3．阅读型；4．综合题．31．（2015南平）定义：底与腰的比是52-1的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1 平分∠ABC交AC于A1．（1）AB2=AA1•A C；（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2 平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3 平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示An﹣1An．（n为大于1 的整数，直接回答，不必说明答案】（1）证明见试题解析；【解析】试题分析：（1）由角平分线的性质和相似三角形的判定与性质，得到△ABC∽△AA1B，从AA AB 求出即可；而有AB=AC2）设AC =1，则AB 2=1﹣AB ，求出AB 的值，进而得出 AB= 5 -1 ，即可得出结论；AC 23）利用（2）中所求进而得出 AA 1，A 1A 2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．同理可得：A 1A 2=A 1C ﹣A 1B 1=AC ﹣AA 1﹣A 1B 1 =a -( 5-1)2a - 5-1A 1C =a -( 5-1)2a - 5-1[a -( 5-1)2a ]=( 5-1)3a考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型． 32．（ 2015 六盘水）毕达哥拉斯学派对”数”与”形”的巧妙结合作了如下研究：3)由(2)得；当 AC =a ，则 AA 1=AC ﹣A 1C =AC ﹣AB =a ﹣AB = a -5-1 2故 An ﹣ 1An =a ．请在答题卡上写出第六层各个图形的几何点数，并归纳出第n层各个图形的几何点数．【答案】6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．试题解析：∵前三层三角形的几何点数分别是1、2、3，∴第六层的几何点数是6，第n层的几何点数是n；∵前三层正方形的几何点数分别是：1=2×1﹣1、3=2×2﹣1、5=2×3﹣1，∴第六层的几何点数是：2×6﹣1=11，第n层的几何点数是2n﹣1；故答案为：6、11、16、21、n、2n﹣1、3n﹣2、4n﹣3．考点：1．规律型：图形的变化类；2．综合题．33．（2015 重庆市）如果把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数称为“和谐数”．例如自然数12321，从最高位到个位依次排出的一串数字是：1，2，3，2，1，从个位到最高位依次排出的一串数字仍是：1，2，3，2，1，因此12321 是一个“和谐数”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”；请你猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除？并说明理由；（2）已知一个能被11 整除的三位“和谐数”，设其个位上的数字x（1≤x≤4，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．【答案】（1）四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一），能；（2）y=2x（1≤x≤4，x为自然数）．【解析】试题分析：（1）根据“和谐数”的定义（把一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同）写出四个“和谐数”，设任意四位“和谐数”形式为：abcd，根据和谐数的定义得到a=d，b=c，则考点：1．因式分解的应用；2．规律型：数字的变化类；3．新定义；4．综合题；5．压轴题．【2014 年题组】1．（2014年南平中考）如图，将1、2 、3三个数按图中方式排列，若规定（a，b）表示第a排第b列的数，则（8，2）与（2014，2014）表示的两个数的积是（）A ．6 B．3 C．2 D．1【答案】B．【解析】试题分析：每三个数一循环，1、2 、3 ，（8，2）在数列中是第（1+7）×7÷2+2=30 个,30÷3=10，（8，2）表示的数正好是第10 轮的最后一个，即（8，2）表示的数是3 ,（2014，2014）在数列中是第（1+2014）×2014÷2=2029105 个，2029105÷3=676368……1,（2014，2014）表示的数正好是第676369 轮的一个数，即（2014，2014）表示的数是1, 3×1= 3 ,故选B．考点：1．规律型：数字的变化类；2．算术平方根．2．（2014 年株洲中考）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1 步向右走 1 个单位，第 2 步向右走 2 个单位，第 3 步向上走 1 个单位，第 4 步向右走 1 个单位……依此类推，第n 步的走法是：当n能被 3 整除时，则向上走 1 个单位；当n被 3 除，余数为 1 时，则向右走 1 个单位；当n 被 3 除，余数为 2 时，则向右走 2 个单位，当走完第100 步时，棋子所处位置的坐标是（）A ．（66，34）B．（67，33）C．（100，33）D．（99，34）【答案】C．考点：1．坐标确定位置；2．规律型：点的坐标．3．（2014 年宜宾中考）如图，将n个边长都为2 的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，……An 分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（）A．n B．n-1 C. ()n-1D．答案】B．解析】试题分析：由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的1，即是1 ×4=1，5 个这样的44 正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×4，n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为：1×（n-1）=n-1．故选B．考点：1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质．4．（2014 年崇左中考）如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2014个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A 处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A……的规律绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）B．（1，﹣2）C．（1，1）D．（﹣1，﹣1）答案】D．考点：1．探索规律题（图形的变化类型---- 循环问题）；2．点的坐标．5．（2014 年百色中考）观察以下等式：32﹣12=8，52﹣12=24，72﹣12=48，92﹣12=80，…… 由以上规律可以得出第n个等式为．【答案】（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n．【解析】试题分析：通过观察可发现两个连续奇数的平方差是8 的倍数,第n个等式为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n．故答案为：（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n．考点：规律型问题．6．（2014 年衡阳中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点M0的坐标为（1，0），将线段OM 0绕原点O逆时针方向旋转45o，再将其延长至点M1 ，使得M1M0 ⊥OM0 ，得到线段OM1；又将线段OM1绕原点O逆时针方向旋转45o，再将其延长至点M2 ，使得M2M1 ⊥OM1，得到线段OM2；如此下去，得到线段OM3、OM4、OM5 、……．根据以上规律，请直接写出线段OM2014的长度为．【答案】（ 2）2014．考点：等腰直角三角形的性质．7．（2014 年抚顺中考）如图，已知CO1 是△ABC的中线，过点O1 作O1E1∥AC交BC于点E1，连接AE1 交CO1 于点O 2；过点O2 作O2E2∥AC交BC于点E2，连接AE2 交CO1 于点O3；过点O3 作O3E3∥AC交BC于点E3，……，如此继续，可以依次得到点O4，O5，……，On和点E4，E5，……，En．则OnEn= A C．（用含n的代数式表示）1BO OE试题分析：∵O 1E 1∥AC ，∴△BO 1E 1∽△BAC ，∴B B O A1 = O 1 E 1，∵CO 1 是△ABC 的中线，ACBO1 =O 1E 1=1 ,∵O 1E 1∥AC ，∴△O 2O 1E 1∽△ACO 2，∴O 1E 1=O 2E 1=1 ，由BAAC 2 AC O 2 A 2E O O E 1 1O 2E 2∥AC ，可得： 1 2=2 2= ,……，可得：OnEn =A C ．AE 1 AC 3 n +1考点：1．相似三角形的判定与性质；2．三角形中位线定理．8．（ 2014 年资阳中考）如图，以 O （0，0）、 A （2，0）为顶点作正△OAP 1，以点 P 1 和线 段 P 1A 的中点 B 为顶点作正 △P 1BP 2，再以点 P 2 和线段 P 2B 的中点 C 为顶点作△P 2CP 3，……，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点 P 6考点：规律题．9．（ 2014年宜宾中考）在平面直角坐标系中，若点P （x ，y ）的坐标 x 、y 均为整数，则称 点 P 为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的 面积记为 S ，其内部的格点数记为 N ，边界上的格点数记为 L ，例如图中△ABC 是格点三角答案】 n +1解析】32 32形，对应的S=1，N=0，L=4．（1）求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L的值．（2）已知格点多边形的面积可表示为S=N+aL+b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N=82，L=38，求S的值．【答案】（1）S=3，N=1，L=6；（2）100．考点：1．规律型：图形的变化类；2．二元一次方程组的应用．10．（2014 年凉山中考）实验与探究：三角点阵前n行的点数计算如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有2个点…… 第n行有n个点……容易发现，10 是三角点阵中前 4 行的点数约和，你能发现300 是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1+2+3+4+……+23+24=300．得知300 是前24 行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n行的点数的和与n的数量关系前n行的点数的和是1+2+3+……+ （n﹣2）+ （n﹣1 ）+ n，可以发现．2×[1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n]=[1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n]+[n+（n﹣1）+（n﹣2）+……3+2+1] 把两个中括号中的第一项相加，第二项相加……第n项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n+1，整个式子等于n（n+1），于是得到1+2+3+……+（n﹣2）+（n﹣1）+n= 1n（n+1）2这就是说，三角点阵中前n项的点数的和是1n（n+1）2下列用一元二次方程解决上述问题设三角点阵中前n行的点数的和为300，则有1n（n+1）2整理这个方程，得：n2+n﹣600=0 解方程得：n1=24，n2=25 根据问题中未知数的意义确定n=24，即三角点阵中前24行的点数的和是300．请你根据上述材料回答下列问题：（1）三角点阵中前n行的点数的和能是600 吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．（2）如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2、4、6、……、2n、……，你能探究处前n行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n行的点数的和能使600 吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．答案】（1）600；（2）24．试题解析：（1）由题意可得：1n（n+1）=600，整理得n2+n﹣1200=0，此方程无正整数2解,∴三角点阵中前n行的点数的和不可能是600．（2）由题意可得：2+4+6+……+2n=2（1+2+3+……+n）=2×1n（n+1）= n（n+1）,依题意，2得n（n+1）=600，整理得n 2+n﹣600=0，（n+25）（n﹣24）=0，∴n1=﹣25，n2=24．∵n为正整数，∴n=24．∴n的值是24．考点：1．探索规律题（图形的变化类）；2．阅读理解型问题；3．一元二次方程的应用．☞考点归纳归纳1：数字猜想型基础知识归纳：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．注意问题归纳：要认真分析比较，从而发现题中蕴涵的数量关系，通过猜想，再通过计算解决问题．【例1】一列数：0，-1，3，-6，10，-15，21，……，按此规律第n个数为【答案】（-1）n-1 n（n-1）．2考点：规律型．归纳2：数式规律型基础知识归纳：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．注意问题归纳：要注意观察、分析、归纳、并验证得出结论．例 2】有一个计算程序，每次运算都是把一个数先乘以 2 ，再除以它与 1 的和，多次重复答案】 2 x(2n -1) x +1考点：规律型．归纳 3：图形规律型基础知识归纳： 图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的 算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．注意问题归纳：要注意分析图形的组成与分拆过程中的特点，要注意数形结合．【例 3】如图，是由一些点组成的图形，按此规律，在第 n 个图形中，点的个数为【答案】n 2+2．【解析】第 1 个图形中点的个数为 3； 第 2 个图形中点的个数为 3+3 ；第 3 个图形中点的个数为 3+3+5；第 4 个图形中点的个数为 3+3+5+7；第 n 个图形中小圆的个数为 3+3+5+7+……+ （ 2 n ﹣1 ） = n 2+2 ．故答案为：n 2+2．考点：规律型．进行这种运算的过程如下：则第 n 次运算的结果yn =用含字母 x 和n 的代数式表示）．归纳4：数形结合猜想型基础知识归纳：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．注意问题归纳：要注意观察图形，发现图形的变化方式，用好数形结合思想解决问题．【例4】如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC 绕点A顺时针旋转到位置①可得到点P1，此时AP1= ；将位置①的三角形绕点P1顺时针旋转到位置②，可得到点P2，此时AP2=1+ ；将位置②的三角形绕点P2 顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP3=2+ ；……，按此规律继续旋转，直至得到点P2014 为止．则AP2014= ．【答案】1342+672 2 ．考点：规律型．归纳5：动态规律型基础知识归纳：动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．注意问题归纳：要注意探求图形的变化规律，明确发生变化的与没有发生变化的量，从而逐步发现规律．【例5】如图，在x轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A1，A2，A3，A4，……，An分别过这些点做x轴的垂线与反比例函数y= 1的图象相交于点P1，P2，P3，P4，……Pn作x P2B1⊥A1P1，P3B2⊥A2P2，P4B3⊥A3P3，……，PnBn﹣1⊥An ﹣1Pn﹣1，垂足分别为B1，B2，B3，B4，……，Bn﹣1，连接P1P2，P2P3，P3P4，……，Pn﹣1Pn，得到一组Rt△P1B1P2，Rt△P2B2P3，Rt△P3B3P4，……，Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn，则Rt△Pn﹣1Bn﹣1Pn的面积为答案】2n（n-1）．☞1 年模拟1．（2015届山东省济南市平阴县中考二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），我们把点P（-考点：规律型．y+1，x+1）叫做点P的伴随点．已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A3 的伴随点为A4，…，这样依次得到点A1，A2，A3，…，An，…．例如：点A1 的坐标为（3，1），则点A2 的坐标为（0，4），…；若点A1的坐标为（a，b），则点A2015 的坐标为（）A．（-b+1，a+1）B．（-a，-b+2）C．（b-1，-a+1）D．（a，b）【答案】B．【解析】试题分析：∵点A1 的坐标为（a，b），∴A2（-b+1，a+1），A3（-a，-b+2），A4（b-1，-a+1），A5（a，b），…，依此类推，每4 个点为一个循环组依次循环，∵2015÷4=503 余3，∴点A2015 的坐标与A3 的坐标相同，为（-a，-b+2）；故选B．考点：规律型：点的坐标．2．（2015 届山东省潍坊市昌乐县中考一模）如图，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A2比图A1多出2个“树枝”，图A3比图A2多出4个“树枝”，图A4比图A3 多出8 个“树枝”，…，照此规律，图A6 比图A2 多出“树枝”（）A．32 B．56 C．60 D．64答案】C．考点：规律型：图形的变化类．3．（2015届山西省晋中市平遥县九年级下学期4 月中考模拟）如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1 各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的是（）①四边形A4B4C4D4 是菱形；②四边形A3B3C3D3 是矩形；③四边形A7B7C7D7 周长为；④四边形AnBnCnDn面积为．答案】A ． ③ 根 据 中 位 线 的 性 质 易 知 ， A 7B 7═ 12 A 5B 5= 14 A 3B 3= 18 A 1B 1= 116 AC ，B 7C 7= 1 B 5C 5= 1 B 3C 3= 1 B 1C 1= 1 BD ，∴四边形 A 7B 7C 7D 7 的周长是 2×1 （a +b ） 2 4 8 16 16a +b= ，故③正确； 8④∵四边形 ABCD 中，AC =a ，BD =b ，且 AC 丄 BD ，∴S 四边形 ABCD =ab ÷ 2 ；由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，四边形abAnBnCnDn 的面积是，故④错误；2n +1综上所述，①②③正确．故选 A ．A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④4．（ 2015届广东省深圳市龙华新区中考二模）如图，已知直线y =- 1 x +2与x 轴交于点B ， 2与 y 轴交于点 A ．过线段 AB 的中点 A 1 做 A 1B 1⊥x 轴于点 B 1，过线段 A 1B 的中点 A 2 作A 2B 2⊥x 轴于点B 2，过线段 A 2B 的中点A 3作A 3B 3⊥x 轴于点B 3…，以此类推，则△AnBnBn -1答案】C ．考点：1．一次函数图象上点的坐标特征；2．规律型．5．（ 2014-2015 学年山东省潍坊市诸城市实验中学中考三模）如图放置的△OAB 1，△B 1A 1B 2，△B 2A 2B 3，…都是边长为 2 的等边三角形，边AO 在 y 轴上，点 B 1，B 2，B 3，…都在直线 y = 3 x 上，则 A 2015 的坐标是 3【答案】（2015 3 ，2017）．【解析】1 2n C ． 14n -1 D ． 14n的面积为（ ）A ． 1n -1 B ．。