经济数学基础作业答案1：判断()3f x x x =+奇偶性1解：函数()3f x x x =+的定义域为(,),-∞+∞对于任意一个(,),x ∈-∞+∞有()333()()()()f x x x x f x x x x =+-=--=+=--所以()3f x x x =+为奇函数 2：判断函数221y x =+的单调性 2解 对任意的1212,(,),x x x x ∈-∞+∞<且，有22121222221212()()21(21)21212()f x f x x x x x x x -=+-+=+--=-（1） 当12,(,0]x x ∈-∞时，则12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以221y x =+在(,0]-∞内是单调减少的。

（2）当12,[0,)x x ∈+∞时，则12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以221y x =+在[0,)+∞内是单调增加的。

所以(,)-∞+∞内，221y x =+在[0,)+∞内不是单调函数。

3例如，sin cos ,cos 2x xy x y x =+=都是初等函数3 解 初等函数在其定义域都是连续的。

由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合而成的函数叫初等函数。

4下列函数是由哪些简单函数复合而成？ （1）2lg(1)y x =- （2）cos 3x y = （3）2arctan(11)y x =++ （4） 2cos 3y x =4解：(1)因为函数2lg(1)y x =-的最后一步运算是对数运算，因此对数的真数部分的函数为中间变量u ，即21u x =-，则2lg(1)y x =-由2lg ,1y u u x ==-复合而成。

由于21u x =-为多项式，可作为一个简单函数，所以没有复合过程。

(2) cos 3x y =的最后一步运算是指数运算，把指数部分作为中间变量u ，即cos u x =，则cos 3x y =由3,cos u y u x ==复合而成。

（３）2arctan(11)y x =++的最后一步运算是反正切函数运算，于是中间变量211u x =++，即u 是1与21x +之和。

21x +又可看作幂运算，所以又把位于幂函数底的函数作为中间变量v ，即21v x =+。

因此，2arctan(11)y x =++是由arctan y u =，1u v=+，21v x =+复合而成。

（4）2cos 3y x =是由2,cos ,3y u u v v x ===复合而成 。

5解：销售收益R 是价格P 与销售量Q 的乘积，即R PQ =将关系式105Q P =-代入，即可得到2()(10)1055QR R Q Q Q Q ==-•=-+ 6解 根据题意，改产品的成本函数为01()()20010C C Q C C Q Q ==+=+收益函数为 21501()7522Q R R Q Q Q Q -==•=-+ 所以利润函数为2211()()()75(20010)6520022L L Q R Q C Q Q Q Q Q Q ==-=-+-+=-+-7 11110,1,1,1,1,...,1...2345(1)nn+---+-。

当n 无限增大时，由于(1)nn-无限接近于常数0，所以其通项1(1)nnny=+-就无限接近与常数1，即该数列以1为极限，可记作11(1)lim nn n →∞⎡⎤⎢⎥+=⎢⎥⎣⎦- 8 解 当n →∞时，1()1f n n =+无限接近于一个确定的数0，所以0是数列11n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的极限，即1lim 01n n →∞=+ 9解：函数1()2xy =的图形如图所示。

由该图可看出,011()()lim lim 22xxx x →-∞→+∞=+∞= 由极限()lim x f x →∞存在的充分必要条件知1()lim 2xx →∞不存在 10解 因为222253()211x f x x x +==+++，所以当x →∞时，对应的函数值23()21f x x =++无限接近于常数2，故 2225lim21x x x →∞+=+ 11解：因为1sin1,x ≤所以1sin x是有界变量；又00,lim x →=即x 在0x →时为无穷小量。

所以，当0x →时1sinx x是有界函数与无穷小量的乘积。

根据性质2得，在时为无穷小量，即1sin0lim x x x→=12 解 因为21lim(1)0x x →-=，即函数211x x -→在时为无穷小量，由定理得，2111x x →-在时为无穷大量，所以 211lim 1x x→∞-= 13解：331111(432).432lim lim lim lim x x x x x x x x →→→→-+=-+311423lim lim x x x x →→=-+343243231lim x x =-+=-+=→⎛⎫⎪⎝⎭14解 因为 222222lim(367)3(lim )6lim lim77x x x x x x x x →→→→-+=-+= 222lim(49)4lim lim9170x x x x x →→→+=+=≠ 所以 22222lim(367)3677lim 49lim(49)17x x x x x x x x x →→→-+-+==++ 15解：sin3sin3tan530133tan 5555lim lim x xx xx x x x→→=••= 16解 222222000022sin sin sin1cos 111222lim lim lim lim 222()22x x x x x x x x x x x x →→→→⎡⎤⎢⎥-====⎢⎥⎢⎥⎣⎦17解 令 u x =-，则当x →∞→∞时，u ，所以1111lim(1)lim(1)lim 1(1)x u x u u u x u eu-→∞→∞→∞-=+==+ 18解 令 xu=2，则当x →∞→∞时，u ，于是1010510102111lim(1)lim(1)lim 1lim 1u u x ux u u u e xuu u →∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+=+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦19解()0f x x =在处有定义，且(0)4f =，但是200lim ()lim()0lim ()lim(24)4x x x x f x x x f x x --++→→→→=+==+=因此 00lim ()lim ()x x f x f x +-→→≠，从而0lim ()x f x →不存在，所以点0x =是()f x 的间断点。

20解：（1）在处，当自变量有改变量时，函数相应的改变量2323126((2)2)()y x x x x ∆=-=•∆+•++∆∆∆于是，由导数定义20(2)(2)(2)12612lim()lim x x f x f f xx x ∆→∆→+∆-'=∆⎡⎤=+∆+=⎢⎥⎣⎦∆（2）对任意点，当自变量的改变量为，因变量相应的改变量2323233(())()y x x x x xx x x ∆=-=•∆+•++∆∆∆于是，导函数332220()33(3()lim)lim x x f x xx x x x xx x x ∆→∆→-'=∆⎡⎤=+•∆+=⎢⎥⎣⎦+∆∆由上式23(3)327.x f x ='==注意到本例中，函数3y x =的导数3312()33y x x x -''===。

若n 是正整数，对函数n y x =，类似的推导，有 1()n n y n x x -''== 特别地，当1n =时，有 110()11y x x x -''==•== 21解：由代数和的导数法则22122212(log cos )4()()()(log )(cos )4112ln 202ln 2112ln 2.ln 222222xxxxy x x x x x x x xx x x x ππ-''=+-++'''''=+-++=+-++=+-+注意：cos 4π是常数，其导数是0，避免错误：(cos )sin 44ππ'=-22 解 sin (5sin )5(sin )5[()sin (sin )]5(cos )2xy x x x x x x x x x x x'''''===+=+ 23解 22sin 2ln 2sin cos ln 2(sin cos ln )2[(sin )'cos ln sin (cos )'ln sin cos (ln )']12(cos ln sin ln sin cos )y x x x x xy x x x x x x x x x x x x x x x x x x x=•=•''==++=-+ 24解：将已知函数看成是有下列函数构成的复合函数： ()sin ,()3y f u u u x x ϕ==== 于是()()(sin )(3)cos 33cos3y f u x u x u xϕ'''''===•=注意：在求复合函数的导数时，若设出中间变量，已知函数要对中间变量求导数，所以计算式中出现中间变量，最后必须将中间变量以自变量的函数还原。

25解 复合函数210(27)y x =+可以看作由函数10227y u u x ==+与复合而成，由复合函数求导法则得102929'()'(27)'10(4)40(27)y u x u x x x =•+==+26解：先求一阶导数，在求二阶导数22,x y x e '=•22222x x y x x e e ''=+••222(12)x e x =+ 当0x =时，222(12)2x x x y e x ==''=+=。

27解 'cos (sin )(cos sin )''(cos sin )(cos sin )2sin '''2sin 2cos 2(cos sin )x x x x x x x x x y e x e x e x x y e x x e x x e x y e x e x e x x ---------=-+-=-+=+--==-+=-28解： 函数()f x 的定义域是(,)-∞+∞，在区间(,)-∞+∞内，因()0,f x '≥且仅在1x =时()0f x '=，故该函数在其定义域内单调增加29解 函数3()f x x =的定义域为(,)-∞+∞，导数321'()3f x x=，除了不可导点0x =以外，均有'()0f x >，故3()f x x =在区间(,)-∞+∞内单调增加。