经济数学基础形成性考核册作业4参考答案
（一）填空题
1、]4,2()2,1( ； 2.、1,1==x x ，小 ； 3、p 2- ； 4.、4 ； 5.、1-≠ （二）单项选择题
1.：B
2.：C
3.：A
4.：D
5.：C （三）解答题
1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y x y +='e 解：
y x e e x
y
=d d ， dx e dy e x y ⎰⎰=- ， c x y +=--e e ，
所求方程的通解为：0=++-c e e y x
（2）23e d d y
x x y x = 解：dx e x dy y x
⎰⎰=23 ， c x y x x +-=e e 3，
所求方程的通解为：c x y x x +-=e e 3 2. 求解下列一阶线性微分方程：
（1）3)1(12
+=+-'x y x y 解：3)1()(,12)(+=+-
=x x q x x p ，代入公式得 [][]
⎰⎰⎰+++=++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰+⎰=+-++-+c dx x x c dx e x e c dx e
x e y x x dx x dx x )1()1()1()1(2)1ln(23)1ln(21
2
312 所求方程的通解为： )2
1
()1(22c x x x y +++=
（2）32x y x y =-' 解：3)(,2
)(x x q x
x p =-= ，代入公式得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰
=-⎰c dx e
x e
y dx x
dx x
232 []
c dx x x x +=-⎰232242
1cx x +=
所求方程的通解为：242
1cx x y +=
3.求解下列微分方程的初值问题： (1) y x y -='2e ,0)0(=y
解：
y x e e x y -=2d d dx e dy e x y 2⎰⎰=， c x y +=22
1
e e ， 把0)0(=y 代入c +=00
21e e ，C=2
1， 所求方程的特解为：21e 21e +=x y
(2)0e =-+'x
y y x ,0)1(=y 解：x
e 1x
=+'y x y ，x e )(,1)(x ==x q x x p ，
代入公式得：⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰⎰-
c dx e x
e e
y dx
x x
dx x 1
1⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎰⎰-c xdx x e x c dx e x e e x x
x
x 1ln ln ，
把0)1(=y 代入c)e (1+=
x
x y ，e c -=, 所求方程的特解为：e)e (1-=x
x y 4.（1）解：⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=00
01110120
1111011101201351223111201A 原方程组的一般解为：⎩⎨⎧-=+-=4
324
312x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）
(2) 解：⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=373503735024
1215114712412111112A ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡--→000005357531054565101000005357531024121 原方程组的一般解为：⎪⎩
⎪⎨⎧+
-=+--=535753545651432431
x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量） 5．解：
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------=800000000039131024
511141826203913103913102451110957332231131224511λλλA 当8=λ时，原方程组有解，且有无穷多解。
当8=λ时：⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡----→000000000039131015801A 原方程组的一般解为：⎩⎨⎧-+-=-+-=3
9131
58432431x x x x x x （其中43,x x 为自由未知量）
6.解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+---→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=330021211011111140112011
113122111111b a b a b a A 当R b a ∈-≠,3时：原方程组有唯一解； 当3,3≠-=b a 时：原方程组无解； 当3,3=-=b a 时：原方程组有无穷多解。
7．求解下列经济应用问题：
（1）设生产某种产品q 个单位时的成本函数为：q q q C 625.0100)(2++=（万元）,
求：①当10=q 时的总成本、平均成本和边际成本；
②当产量q 为多少时，平均成本最小？
解：①q q q C 625.0100)(2++=；625.0100
)()(++==q q
q q C q C ；65.0)(+='q q C 时10=q ,185)10(=C （万元）；5.18)10(=C （万元/单位）；11)10(='C （万元/单位）
②025.0100)(2=+-='q q C ,0)(='q C 令，得唯一驻点20=q ，
0200
)(3>="q
q C ，)(20q C q 为=唯一极小值点，即最小值点。
当产量为20个单位时可使平均成本达到最低。
（2）.某厂生产某种产品q 件时的总成本函数为201.0420)(q q q C ++=（元），单位销售价格为q p 01.014-=（元/件），问产量为多少时可使利润达到最大？最大利润是多少．
解：总成本函数为201.0420)(q q q C ++=，总收益函数R(q)= 201.014q q -,
2002.010)()()(2--=-=q q q c q R q L ,q q L 04.010)(-='
250004.010)(==-='q ，q q L 得唯一驻点令，004.0)(<-=''q L ，250=q 是极大值点，即最
大值点。
当产量为250个单位时可使利润达到最大，且最大利润为1230)250(=L （元）。
（3）投产某产品的固定成本为36(万元)，且边际成本为402)(+='q q C (万元/百台)．试求产量
由4百台增至6百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低． 解：当产量由4百台增至6百台时，总成本的增量为
646
42)40()402()4()6(⎰+=+=-=∆x x dx x C C C =100（万元）
⎰++=++=x
x x dx x x C 0
2364036)402()(,x
x x x C x C 36
40)()(++==
, 0361)(2=-='x x C , 得6=x 。
072
)(3>="x
x C ,6=x 为)(x C 的是极小值点，即最小值点。
当6=x （百台）时可使平均成本达到最低.
（4）已知某产品的边际成本)(q C '=2（元/件），固定成本为0，边际收益q q R 02.012)(-='，求：①产量为多少时利润最大？
②在最大利润产量的基础上再生产50件，利润将会发生什么变化？
解：①x x c x R x L 02.010)()()(-='-'=', 0)(='x L ，得500=x ，002.0)(<-=''x L ，500=x 是)(x L 是极大值点，即最大值点。
当产量为500件时，利润最大.
②在最大利润产量500件的基础上再生产50件利润变化：
25)01.010()02.010(5505002550
500-=-=-=∆⎰q q dq q L （元） 即利润将减少25元.。