3
2g 4l
,
FA
FB
3 8
mg
16
思考题：已知均质杆AB上的A点以匀速 u 铅垂运动，均质圆 盘在地面上纯滚动。试确定当系统运动到图示位置时，地面 作用在圆盘上的摩擦力的方向。（选择：A或B）
u
情况1 A
u
情况2 A
F
B
F
B
A：水平向右
B：水平向左
17
思考题：已知均质杆AB上的A点以匀速 u 铅垂运动，均质圆 盘在地面上纯滚动。试确定当系统运动到图示位置时，滑块 A的哪一侧与墙面接触。（选择：A或B）
杆长为l，质量为m。求：此瞬时AB杆的角加速度,
地面约束力, 绳的拉力。
解：受力分析和运动分析
y Ca
O FB
aB
B
FA CaC mg
A
450
aA 0 x
应用刚体平面运动微分方程
macx FB
1m12 amcly2
FA mg (FA FB
)
l 2
sin
450
acx
acy
l
2
sin
450
Planar Motion of a Rigid Body)
设：刚体具有 质量对
z
(xM , yM , zM )
称面 S，此平面在某一
固定平面内运动，作用
o
y
在刚体上的力系可简化
为S平面内的一个平面 x
力系。
M S
问题：用什么方法建立刚体的平面运动与力之间的关系？
12
§3-2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
xc'
l2 f 12 xc'
g
sin
xc' 2
第三阶段：平面运动（脱离）
0
tan 1
1 4
,
0
3g l
sin
0
xc' 0
l 6
,
xc' 0
0
杆绕质心以恒定角速度转动
26
三个阶段杆的角速度和角加速度随 的变化规律
l 1.0m
/ rad • s-2 / rad • s-1
/ rad 分离时杆质心C到O点的距离为：0.204 m
用在BAB上的力偶矩M 。 A
A. 与图示同向 B.与图示反向 C.大小为零
B
Ca
FBx
aB
D
αBC
aDx
M
aD
A BC 0 C
αC
aC 2.对杆BC和圆
盘:用动量定理
aC
F
F
1.对圆盘:用相对 质心的动量矩定理
3.对杆AB:用相对定点的动量 矩定理
30
例：图示偏心圆盘在水平面上纯滚动，已知偏心圆
u
情况1 A
u
情况2 A
F
B
A：滑块左侧
F
B
B：滑块右侧
18
例：均质细杆AB初始静止，A端铅垂吊起，B端放在光 滑的水平面上。确定当绳索被剪断后的瞬时，杆上哪 点加速度最小（大）。
解： 受力分析和运动分析
0
A
水平方向外力为零， 水平方向动量守恒
C
magC P1
Ca
B
FB
aB
C点加速度铅垂， B点加速度水平
§3-2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
定轴转动刚体在工程中的应用
1
§3-2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
平面运动刚体在工程中的应用
2
§3-2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
一、刚体定轴转动微分方程(Differential Equation
of Rotation about a Fixed Axis of a Rigid Body)
(1) :0 0.0rad,0 0.0rad/s,(2) :0 0.001rad,0 0.0rad/s, 非周期运动Βιβλιοθήκη / radt/s7
确定性动力系统 1 mL2 c k 1 mgLsin kbcost
3
2
混沌(chaos)：确定性,非线性动力系统中出现的貌似随机
的运动过程。是非线性动力系统内在随机性的外在表现。
问题：如何求约束力？
O
FA
A
FB
B
mg
解：研究杆，受力与运动分析
JO
d 2
dt 2
n
M O (Fi )
i1
JO
1 12
m(2L)2
m(R2
L2 )
MO mg R2 L2 sin
10 mL2 mg 3Lsin
3
3 3g sin 0
10L
11
§3-2、刚体定轴转动与平面运动微分方程
二、刚体平面运动微分方程(Differential Equation of
A. 方向水平向右
B. 方向水平向左
o
A
C. 方向无法确定
D.大小为零
21
例：均质杆AB长l，1/3放在固定的箱子上，两者的静
(动)摩擦因数为0.5。求：杆开始滑动时与水平线的夹 角，以及杆在运动过程中的角速度和角加速度。(不 计杆的宽度)
问题：运动分几个阶段？
A
C
O
B 第一阶段：定轴转动 （1个自由度）
e(g R2 ) 2 e2 R2
31
RCFI
方法二：LrA MA(F (e) ) rAC (maA)
aA R 2 FI ma A
O
aA
e
mg
A
F
m(e2 2 R2 ) mge ma Ae
e(g R2 ) 2 e2 R2
FN
方法三： T2 T1 W12 (mg )
Rm
O
Jo
1 2
mR2 ,
2R 2
平行轴定理：
Joz Jcz md 2
m
O
b
a
Jo
1 12
m(a2
b2 ),
3(a2 b2 ) 6
oz // cz
zC过刚体质心
4
例：均质杆OA长L，质量为m，阻力系数为c，扭簧刚
度系数为k，OABC时弹簧无变形，已知BC杆的转
动： b cost 。求：OA杆的运动微分方程。
Fx mac
Fi(e)
x: y:
mac Fx Ff 0 FN mg Fy
Ff
dLrC
dt
n i 1
MC (Fi(e) )
1 mR2
2
M Ff R
2(M Fx 3mR2
R)
,
aC
2(
M Fx 3mR
R)
,
Ff
2M 3R
1 3
Fx
Ff 的方向
15
例：图示系统初始静止，A处光滑，OB水平。均质
27
例:系统如图所示， A
y
均质杆AB长L,由静
A
止0 30o开始运动,
求脱离墙壁时的
和地面的约束力(不
0 C
mg
FA
B
C
B
计摩擦)
mg x
解：取杆为研究对象，受力分析和运动分析
FB
应用刚体平面运动微分方程
mxc FA
myc
FB
mg
J
c
1 2
(FB
sin
FA
cos )
xc
yc
L
2 L
3
2
m 3kg,L 1m,k 14.0Nm/rad,b 0.02rad,c 1.3Nms/rad
(1) :0 0.0rad,0 0.0rad/s,(2) :0 1.0rad,0 0.0rad/s,
/ rad
周期运动
t/s
6
m 3kg,L 1m,k 14.0Nm/rad,b 0.02rad,c 0.65Nms/rad
P1 点加速度最小
A 点加速度最大
19
思考题：质量为m半径为R 的均质圆盘在倾角为θ 的固定
斜面上纯滚动，其上作用一主动力偶M， 试定性分析作用 在圆盘上的摩擦力的方向。
M
θ
A：摩擦力沿斜面向下
B：摩擦力沿斜面向上
C：摩擦力的方向不能确定 （条件不充分）
20
例：质量为m，半径为r的均质刚性圆盘在水平面上 纯滚动, 其边缘固连一质量为m的质点A。 初始时OA 在同一水平线上，系统无初速度释放 ，则该瞬时地 面作用在圆盘上的摩擦力：
1 mgLcos
2
2 3g ( 3 2cos ) 3g sin
2l
2l
FA
3 4
mg
sin
(3 cos
3)
3 FB mg 4 mg(1
3 cos 3cos2 )
29
例：机构在铅垂面内运动，均质杆AB、BC各处铰接，
均质圆盘纯滚动。AB杆匀速转动，其上作用一力偶M。
则图示瞬时(AB铅垂)，地面对圆盘的摩擦力 ，作
cos
Jc FN xc ' xc '为质心的坐标
y'
x' F fFN
A aen ak
OC
aet
ar B
x'
ac acx' acy' aet aen ar ak
acx' acy'
ar aen aet ak
x(c' xc' x c '2x2c' )
(l
2
12xc2 ) 12gxc cos 24xc
庞加莱(Poincaré):小误差带来大灾难,«Science and Method»
洛伦茨(E. N. Lorenz): 1961 0.506127和0.506