解。
3．（多选）线性规划的最优解有以下几种可能？（ ）[中山大学 2008 研] A．唯一最优解 B．多个最优解 C．没有最优解，因为目标函数无界 D．没有最优解，因为没有可行解 【答案】ABCD 【解析】线性规划问题的每个基可行解对应可行域的一个顶点，若现行规划问题有最优 解，必在某个顶点上得到，当该顶点唯一时，有唯一最优解；当目标函数在多个顶点上达到 最大值时，则该问题有无限多个最优解；目标函数无界，称线性规划问题具有无界解，此时 无最优解；使目标函数达到最大的可行解称为最优解，故没有可行解就没有最优解。
2．当极大化线性规划模型达到最优时，某非基变量 xj 的检验数为σj，当价格系数为 cj 的变化量为∆cj 时，原线性规划问题最优解保持不变的条件是______。[武汉大学 2005 研]
【答案】σj＋∆cj≤0 【解析】xj 为非基变量，其价格系数变化∆cj 后，其检验数变为σj′＝σj＋∆cj ，极大化 线性规划模型最优解保持不变的条件是σj′＝σj＋∆cj ≤0。
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【解析】若 B＝（P1，P2，…，Pm）为 A 中 m 个线性无关的列向量，此时令非基变量 xm＋1＝xm＋2＝…＝xn＝0，这时变量的个数等于线性方程组的个数，用高斯消去法，可求得 对应于基 B 的基可行解为 X＝（x1，x2，…，xm，0，…，0）T 。由最优解的判别定理，若 对于一切 j＝m＋1，…，n，有σj≤0，则所求得的基可行解为最优解。
3．若 X 为某极大化线性规划问题的一个基可行解，用非基变量表达其目标函数的形式
为 Z Z0 j X j 则 X 为该 LP 最优解的条件是：______。[武汉大学 2006 研] jJ 【答案】σj≤0 【解析】求极大化问题，则当所有非基变量的检验数均为非正时，即得最优解。线性规
划最优时要求非基变量检验数小于等于 0，所以σj≤0。
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圣才电子书 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台划问题的最优解，其中λ1、λ2 为正的实数。（ ）[北京交通大学 2010 研] 【答案】× 【解析】必须规定λ1＋λ2＝1，且λ1，λ2≥0。当某一线性规划问题存在两个最优解时，
则它一定存在无数个最优解，最优解为 x＝λ1x（1）＋λ2x（2）且λ1＋λ2＝1，λ1，λ2≥0。
2．（多选）线性规划可行域为封闭的有界区域，最优解可能是（ ）。[中山大学 2007 研] A．唯一的最优解 B．一个以上的最优解
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C．目标函数无界
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D．没有可行解
【答案】AB
【解析】可行域非空，故有可行解；可行域封闭，故目标函数有界，有一个或多个最优
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第三部分 章节题库
第一章 线性规划及单纯形法
一、判断题 1．线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点。（ ）[北京交通大学 2010 研] 【答案】× 【解析】基解不一定是可行解，基可行解一一对应着可行域的顶点。
2．若线性规划问题的可行解为最优解，则该可行解必定是基可行解。（ ）[南京航 空航天大学 2011 研]
二、选择题 1．单纯形法中，关于松弛变量和人工变量，以下说法正确的是（ ）。[中山大学 2008 研] A．在最后的解中，松弛变量必须为 0，人工变量不必为 0 B．在最后的解中，松弛变量不必为 0，人工变量必须为 0 C．在最后的解中，松弛变量和人工变量都必须为 0 D．在最后的解中，松弛变量和人工变量都不必为 0 【答案】B 【解析】松弛变量是在约束不等式号的左端加入的，在最后的解中，其值可以不必为 0； 人工变量是在原约束条件为等式的情况下加入的，只有基变量中不再含有非零的人工变量 时，原问题才有解，所有最后的解中人工变量必须为 0。如果人工变量不为 0，则原问题无 可行解。
四、简答题 简述目标规划单纯形法求解的基本思想。[南京航空航天大学 2009 研] 答：目标规划单纯形法求解的基本思想为： （1）建立初始单纯形表，在表中将检验数行按优先因子个数分别列成 K 行，置 k＝1； （2）检查该行中是否存在负数，且对应的前 k－1 行的系数是零。若有负数取其中最 小者对应的变量为换入变量，转第（3）步。若无负数。则转第（5）步； （3）按最小比值规则确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取 具有较高优先级别的变量为换出变量； （4）按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回第（2）步； （5）当 k＝K 时，计算结束。表中的解即为满意解。否则置 k＝k＋1，返回到第（2） 步。
三、填空题 1．对于线性规划问题：Max Z＝CX；AX≤b，X≥0，若 B＝（P1，P2，…，Pm）为 A 中 m 个线性无关的列向量，且为该 LP 的一个可行基，则对应于基 B 的基可行解为：______， 该基可行解为最优解的条件是：______。[武汉大学 2005 研] 【答案】X＝（x1，x2，…，xm，0，…，0）T；对于一切 j＝m＋1，…，n，有σj≤0
【答案】√ 【解析】基解且可行才有可能是最优解。
3．如果线性规划问题无最优解，则它也一定没有基可行解。（ ）[东北财经大学 2008 研]
【答案】× 【解析】当问题的可行域是无界的，因而有无界的可行解。此时该问题无有限最优解， 但是存在基可行解。
4．若 x（1）、x（2）分别是某一线性规划问题的最优解，则 x＝λ1x（1）＋λ2x（2）也是该
4．两阶段法中，若第一阶段目标函数最优值不为 0，则原问题______。[北京科技大学 2011 研]
【答案】无可行解 【解析】第一阶段目标函数值不是 0，则说明最优解的基变量中含有非零的人工变量， 表明原线性规划问题无可行解。
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