实验一离散傅里叶变换的性质一、实验目的1、掌握离散傅里叶变换的性质,包括线性特性、时移特性、频移特性、对称性和循环卷积等性质;2、通过编程验证傅里叶变换的性质,加强对傅里叶变换性质的认识。

二、实验原理和方法 1. 线性特性1212DFT[((]((ax n bx n aX k bX k +=+2. 时移特性DFT[(](DFT[(](km kmx n m W X k x n m W X k −+=−=3. 频移特性((nl N IDFT X k l IDFT X k W +=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦4. 对称性设由x(n开拓成的周期序列为 (p x n 则(((p pe po x n x n x n =+ 偶序列(((*12pe p p x n x n x N n ⎡⎤=+−⎣⎦奇序列(((*12po p p x n x n x N n ⎡⎤=−−⎣⎦将(pe x n 和(po x n 截取主周期,分别得(((pet pe N x n x n R n = (((pot po N x n x n R n =则(((((p N pet pot x n x n R n x n x n ==+ x(n序列的实部和虚部的离散立叶变换({}(Re pet DFT x n X k =⎡⎤⎣⎦ ({}(Im pot DFT j x n X k =⎡⎤⎣⎦[][](((((((((((arg (arg (R R R I I I X k X k X N k X k X k X N k X k X k X N k X k X N k X k X k ∗=−=−=−=−=−−=−−=−=−− 5. 循环卷积(3123121(((((x n x n x n X k X k X k N=⇒=⊗有限长序列线性卷积与循环卷积的关系 X1(n和x2(n的线性卷积:11312120(((((N m m x n x m x n m x m x n −∞=−∞==−=∑∑m −1120((N m x m x n m −==−∑将X1(n和x2(n开拓成以N 为周期的周期序列11((p r x n x n r ∞=−∞=+∑N 22((p q xn x n q ∞=−∞=+∑N则它们的周期卷积为14120(((N p p p m x n x m x n −==−∑m1120((N p m x m x n m −==−∑1120((N m q x m x n m qN −∞==−∞=−∑∑+1120((N q m x m x n qN m ∞−=−∞=⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦∑∑− 3(q x n qN ∞=−∞=+∑X1(n和x2(n周期开拓后的周期卷积等于他们的线性卷积的的周期开拓。

三、实验内容和步骤任取长度为N=8的随机实序列x1[n],x2[n],例如x 1[n]=[1 3 5 3 6 8 3 9],x2[n]=[2 4 3 6 7 9 0 2 ],和长度为N=8的随机复序列x 3[n],x 4[n],例如x3[n]=[1+2j 3+4j 5+3j 3+4j 6+j 8+2j 3+3j 9+2j],x4[n]=[4+1j 6+4j 4+3j 3+4j 7+j 8+3j 3+4j 1+2j],采用MATLAB 编程验证傅里叶变换的如下性质1. 线性特性a. 给出序列x1[n]的傅里叶变换X1[k],并画出其幅度谱和相位谱 clear all;x1=[1 3 5 3 6 8 3 9]; n=0:length(x1-1; X1=fft(x1; R1=real(X1; I1=imag(X1;M1=abs(X1;phase1=atan2(I1,R1;%angle(X; figure(1,subplot(2,1,1,stem(n,R1,'r*';title('实部'; subplot(2,1,2,stem(n,I1,'r*';title('虚部'; figure(2,subplot(2,1,1,stem(n,M1,'r*';title('幅度谱'; subplot(2,1,2,stem(n,phase1,'r*';title('相位谱';1234567010203040幅度谱1234567-4-2024相位谱b. 给出序列x2[n]的傅里叶变换X2[k] ,并画出其幅度谱和相位谱 x2=[2 4 3 6 7 90 2]; n=0:length(x2-1; X2=fft(x2; R2=real(X2; I2=imag(X2; M2=abs(X2;phase2=atan2(I2,R2;%angle(X; figure(3,subplot(2,1,1,stem(n,M2,'r*';title('幅度谱'; subplot(2,1,2,stem(n,phase2,'r*';title('相位谱';1234567010203040幅度谱1234567-4-2024相位谱c. 给出序列Z1=2*X1[k]+6*x2[k],并与序列z2=2*x3[n]+6*x4[n]的傅里叶变换比较,Z1=2*X1+6*X2; RZ1=real(Z1; IZ1=imag(Z1; MZ1=abs(Z1;phaseZ1=atan2(IZ1,RZ1;%angle(X; figure(4,subplot(2,2,1,stem(n,MZ1,'r*';title('幅度谱'; subplot(2,2,2,stem(n,phaseZ1,'r*';title('相位谱';z2=2*x1+6*x2;Z2=fft(z2; RZ2=real(Z2; IZ2=imag(Z2; MZ2=abs(Z2;phaseZ2=atan2(IZ2,RZ2;%angle(X; %figure(4,subplot(2,2,3,stem(n,MZ2,'r*';title('幅度谱'; subplot(2,2,4,stem(n,phaseZ2,'r*';title('相位谱';02468100200300幅度谱02468-4-2024相位谱02468100200300幅度谱02468-4-2024相位谱2. 时移特性给出序列x1[n]右移3位后的傅里叶变换的幅度谱和相位谱,并和原始序列的幅度谱和相位谱相比较 clear all;x1=[1 3 5 3 6 8 3 9]; N=length(x1;xc=circshift(x1,[1,3];% xc[n]= x1[n-3]; n=0:length(x1-1; X=fft(x1; R=real(X; I=imag(X; M=abs(X;phase=atan2(I,R;%angle(X; Xc=fft(xc; Rc=real(Xc;Ic=imag(Xc;Mc=abs(Xc;phasec=atan2(Ic,Rc;%angle(X;figure(1,subplot(2,3,1,stem(n,x1,'r*';title('原序列';subplot(2,3,2,stem(n,M,'r*';title('原序列幅度谱';subplot(2,3,3,stem(n,phase,'r*';title('原序列相位谱';subplot(2,3,4,stem(n,xc,'r*';title('移位序列';subplot(2,3,5,stem(n,Mc,'r*';title('移位序列幅度谱';subplot(2,3,6,stem(n,phasec,'r*';title('移位序列相位谱';for k=1:NX2(k=exp(j*2*pi*(k-1*-3/N*X(k;endR2=real(X2;I2=imag(X2;M2=abs(X2;phase2=atan2(I2,R2;%angle(X;figure(2,subplot(2,2,1,stem(n,M2,'r*';title('运算后幅度谱';subplot(2,2,2,stem(n,phase2,'r*';title('运算后相位谱';subplot(2,2,3,stem(n,Mc,'r*';title('移位序列幅度谱'; subplot(2,2,4,stem(n,phasec,'r*';title('移位序列相位谱';5100246810原序列051010203040原序列幅度谱0510-4-2024原序列相位谱5100246810移位序列051010203040移位序列幅度谱0510-4-2024移位序列相位谱2468010203040运算后幅度谱2468-4-2024运算后相位谱2468010203040移位序列幅度谱02468-4-2024移位序列相位谱3. 频移特性给出序列x1[n]的傅里叶变换X1[k],右移3位后得X2[k]= X1[k-3],对X2[k]作傅里叶反变换得到x2[n],并和原始序列x1[n]相比较。

clear all;x1=[1 3 5 3 6 8 3 9];N=length(x1;X1=fft(x1;X1c=circshift(X1,[1,3];% X1c[k]= X1[k-3];n=0:length(x1-1;R1=real(X1;I1=imag(X1;M1=abs(X1;phase=atan2(I1,R1;%angle(X;R1c=real(X1c;I1c=imag(X1c;M1c=abs(X1c;phasec=atan2(I1c,R1c;%angle(X;figure(1,subplot(2,2,1,stem(n,M1,'r*';title('原序列幅度谱';subplot(2,2,2,stem(n,phase,'r*';title('原序列相位谱';subplot(2,2,3,stem(n,M1c,'r*';title('幅度谱移位';subplot(2,2,4,stem(n,phasec,'r*';title('相位谱移位';x1c=ifft(X1c;Rc=real(x1c;Ic=imag(x1c;for i=1:Nx2(i=exp(-j*2*pi*(i-1*-3/N*x1(i;endR2=real(x2;I2=imag(x2;figure(2,subplot(2,2,1,stem(n,R2,'r*';title('运算后实部';subplot(2,2,2,stem(n,I2,'r*';title('运算后虚部';subplot(2,2,3,stem(n,Rc,'r*';title('移位序列傅立叶反变换后实部'; subplot(2,2,4,stem(n,Ic,'r*';title('移位序列傅立叶反变换后虚部';2468010203040原序列幅度谱02468-4-2024原序列相位谱2468010203040幅度谱移位02468-4-2024相位谱移位2468-10-50510运算后实部02468-10-55运算后虚部2468-10-50510移位序列傅立叶反变换后实部02468-10-505移位序列傅立叶反变换后虚部4. 对称性利用x1[n]构造奇对称序列和偶对称序列,讨论如下问题1 分别画出奇对称、偶对称序列的傅里叶变换的幅度谱和相位谱以及实部和虚部clear all;x1=[1 3 5 3 6 8 3 9];N=length(x1;x2(1=x1(1;for i=2:Nx2(i=x1(N+2-i;endxe=(x1+conj(x2/2;xo=(x1-conj(x2/2;n=0:N-1;Xo=fft(xo;Ro=real(Xo;Io=imag(Xo;Mo=abs(Xo;phaseo=atan2(Io,Ro;%angle(X;figure(1,subplot(2,2,1,stem(n,Ro,'r*';title('奇对称序列的频谱实部'; subplot(2,2,2,stem(n,Io,'r*';title('奇对称序列的频谱虚部'; subplot(2,2,3,stem(n,Mo,'r*';title('奇对称序列的幅度谱'; subplot(2,2,4,stem(n,phaseo,'r*';title('奇对称序列的相位谱';Xe=fft(xe;Re=real(Xe;Ie=imag(Xe;Me=abs(Xe;phasee=atan2(Ie,Re;%angle(X;figure(2,subplot(2,2,1,stem(n,Re,'r*';title('偶对称序列的频谱实部'; subplot(2,2,2,stem(n,Ie,'r*';title('偶对称序列的频谱虚部';subplot(2,2,3,stem(n,Me,'r*';title('偶对称序列的幅度谱';subplot(2,2,4,stem(n,phasee,'r*';title('偶对称序列的相位谱';2468-1-0.500.51奇对称序列的频谱实部02468-10-50510奇对称序列的频谱虚部24680246810奇对称序列的幅度谱02468-2-1012奇对称序列的相位谱偶对称序列的傅里叶变换的幅度谱和相位谱以及实部和虚部2468-10010203040偶对称序列的频谱实部2468-1-0.500.51偶对称序列的频谱虚部2468010203040偶对称序列的幅度谱024681234偶对称序列的相位谱2 当x(n为复序列时,推导傅里叶变换公式,利用x3[n]构造共轭对称序列和共轭反对称序列,画出该相应的傅里叶变换的幅度谱和相位谱以及实部和虚部。