29 c14 = ， 原点)8 ]c 3 ( 0.65c= s c2c 2 c c 2第一章 光的电磁理论1.1 在真空中传播的平面电磁波，其电场表示为Ex=0，Ey=0，Ez=(102)C os [π × 1014(t ‒ x)+π]，（各量均用国际单位），求电磁波的频率、波长、周期和初相位。

解 ： 由Ex=0， Ey=0， Ez=(102)C os1.4 写出：（1）在 yoz 平面内沿与 y 轴成θ角的k 方向传播的平面波的复振幅；（2）发散球面波和汇聚球面波的复振幅。

解： （ 1） 由E = A exp （i k ∙ r ）， 可得E = A exp [ik(y cos θ + zsin θ)]；A 1（2）同理：发散球面波E (r ，t) = A r exp (ikr) = r [π × 1014(t ‒ x) + π]，则频率υ= �π × 1014= =0.5×c 2 2π2πexp (ikr)，1014Hz ， 周期T=1/υ=2×10-14s ， 初相位φ0=+π/2（ z =0， t=0）， 振幅 A=100V/m ，A 1汇聚球面波E (r ，t) = A r exp ( ‒ ikr)波长λ=cT=3×108×2×10-14=6×10-6m 。

1.2. 一个平面电磁波可以表示为 Ex=0， Ey=2Cos [2π × 1014(z‒ t)+ π]，Ez=0， 求：（ 1）该电磁波的振幅， 频率， 波长和原点的初相位 是多少？（ 2）波的传播和电矢量的振动取哪个 = r exp ( ‒ ikr) 。

1.5 一平面简谐电磁波在真空中沿正 x 方向传播。

其频率为4 × 1014Hz ，电场振幅为 14.14V/m ，如果该电磁波的振动面与 xy 平面呈 45º，试写出 E ，B 表达式。

解：E = E y e y + E z e z ，其中E =10exp [i(2πx ‒ 2πυt)]yλ方向？（ 3）与电场相联系的磁场 B 的表达式如何写？ω 2π × 1014 =10exp [i (2πυx ‒ 2πυt)]解：（ 1）振幅 A=2V/m ，频率υ=2π =2π = 2π × 4 × 10141014Hz ，波长λ = c= 3 × 1083 × 10 ‒ 6m=10exp [i(x ‒ 2π × 4 × 1014t3 × 10 υ 10= 10exp [i(8 × 106π)(x ‒ 3 × 108t )]，的初相位 φ0=+π/2；（ 2） 传播沿 z 轴， 振动 3方 向 沿 y 轴 ； （ 3） 由 B =1(e × E ) ， 可 得 同理：E z = 10exp [i(8× 106π)(x ‒ 3 × 108t )]。

By=Bz=0， B x=2C os [2π × 1014(z‒ t ) + π]1B = c k 0 × E ) = ‒ B y e y + B z e z ，其中 B =10exp [i(8 × 106π)(x ‒ 3 × 108t )]=B1.3. 一个线偏振光在玻璃中传播时可以表示为z3 × 1083yEy=0，Ez=0，Ex=102C os [π × 1015(z‒ t )]， 。

试求：（ 1） 光的频率；（ 2） 波长；（ 3） 玻璃的折射率。

1.6 一个沿 k 方向传播的平面波表示为 E=100exp{i [(2x + 3y + 4z) ‒ 16 × 105t ]}，试求 k 方向的单ω π × 1015位矢k 0。

解：（ 1） υ=2π=2π2π2π=5×1014Hz ；2 × 0.65 ×3 × 108解：|k | = 22 + 32 + 42 = ， 又k = 2e x + 3e y + 4e z ， （ 2） λ = k = π × 1015/0.65c = 1015k 1 (e + 3e + 4e )。

m = 3.9 × 10 ‒ 7m = 390nm ；0 29 x y zc c（3）相速度 v=0.65c ，所以折射率 n=v = 0.65c ≈ 1.541.9 证明当入射角θ1=45º时，光波在任何两种介质分界面上的反射都有r p = r 2。

k222 2 = （ sin (θ1 ‒ θ2)sin 45ºcos θ2 ‒ cos 45ºsin θ21证明：r s = sin (θ1 + θ2) = sin 45ºcos θ2 + cos 45ºsin θ2则t p = n ，其中n = n 2 ∕ n 1，得证。

cos θ2 ‒ sin θ21 ‒ tan θ2=cos θ2 + sin θ2 = 1 + tan θ2 tan (θ1 ‒ θ2) r p =tan (θ1 + θ2)(tan 45º ‒ tan θ2)/(1 + tan 45ºtan θ2)1 ‒ tan θ2 221.17 利用复数表示式求两个波E 1 = a cos (kx + ωt ) 和E 2 = ‒ a cos (kx - ωt )的合成。

解 ：E = E 1 + E 2 = a[cos (kx + ωt ) ‒ cos (kx - ωt )]=(tan 45º + tan θ )/(1 ‒ tan 45ºtan θ)=(1 + tan θ2) =rs1.10 证明光束在布儒斯特角下入射到平行平面玻璃片的上表面时，下表面的入射角也是布儒斯特角。

证明：由布儒斯特角定义，θ+i=90º，设空气和玻璃的折射率分别为n 1和n 2，先由空气入射到玻璃中则有n 1sin θ = n 2sin ⅈ，再由玻璃出射到空气中，有n 2sin θ' = n 1sin i '， 又θ' = ⅈ，∴n 1sin i ' = n 1sin θ⇒i ' = θ， 即得证。

1.11 平行光以布儒斯特角从空气中射到玻璃(n = 1.5)上，求：（1）能流反射率R p 和R S ；（2） 能流透射率T p 和T s 。

n 2解：由题意，得n = n 1 = 1.5，=a exp[i (kx + ωt )] ‒ a exp[i (kx ‒ ωt )]=a exp(ikx)(e iωt - e -iωt) =2a sin (ωt )exp (ⅈcos kx - sin kx )= ‒ 2aexp [i (kx + π)]sin (ωt )。

1.18 两个振动方向相同的单色波在空间某一点产生的振动分别为E 1 = a 1cos (φ1 - ωt )和E 2 = a 2 cos (φ2 - ωt )。

若ω = 2π × 1015Hz ， a 1 = 6V/m ， a 2 = 8V/m ，φ1 = 0，φ2 = π ∕ 2，求该点的合振动表达式。

解：E = E 1 + E 2 = a 1cos (φ1 - ωt ) + a 2cos (φ2 - ωt )=6cos ( ‒ 2π × 1015t ) + 8cos(π‒ 2π × 1015t)=6cos (2π × 1015t ) + 8sⅈn (2π × 1015t ) 又θ为布儒斯特角，则θ + ⅈ=90° ............① 615n 1sinθ = n 2sini⇒sinθ = nsini ..... ② =10cos(arccos10 ‒ 2π × 10t)由①、②得，θ = 56.31°，i = 33.69°。

tan 2(θ - ⅈ)（1）R p = tan 2(θ + i ) = 0，sin 2(θ - ⅈ)=10cos (53°7'48'' ‒ 2π × 1015t )。

1.20 求如图所示的周期性三角波的傅立叶分析表达式。

E (z ) ={z (0 < z ≤ λ )R s = sin 2(θ + ⅈ) = 0.148 = 14.8%，解：由图可知， ‒ z + λ(λ ∕ 2 < z ≤ λ)，（2）由R p + T p = 1，可得T p = 1，2 λ同理，T s =85.2%。

A 0 = λ∫0E (z )ⅆz2(∫λ ∕ 2zⅆz + ∫��( ‒ z + λ)ⅆz) = λ，1.12 证明光波在布儒斯特角下入射到两种介质的1=λ2 λλ ∕ 22分界面上时，t p = n ，其中n = n 2 ∕ n 1。

A m = λ∫0E (z )cos (mkz )ⅆz证明：t2sin θ2cos θ1=，因为θ 为布儒斯特2 ∫λ 2E (z )cos mkzⅆz + ∫λ E (z )cos mkzⅆz ）psin (θ1 + θ2)cos (θ1 ‒ θ2)1λ0 λ 2角，所以θ2 + θ1 = 90°，= 2·( ‒22 )=‒ 8·λ22λ=‒，（m 为奇数），2sin θ2cos θ1 2sin θ2cos θ1λm 2k 2λ m 2(2π)2 m 2(2π)2t p = sin 90°cos (θ1 - θ2) =cos (90° - θ2 - θ2)B = 2∫λE (z )sⅈnmkzⅆz = 0， 2sin θ cos θ 2sin θ cos θ sin θ mλ 02 1 2 1 2= sin (2θ2) = 2sin θ2cos θ2 = sin θ1，又根据折射定律n 1 所以 λ 2λ∑∞ (cos mkz m 2)sin θ2n 11E (z ) = 4 ‒ π2 m = 1sin θ1 = n 2sin θ2，得sin θ1= n 2= n ，λ 2λ cos kzcos 3kzcos 5kz =4 ‒ π2( 12 +32+52+ ···) 。

3 5r 1.21 试求如图所示的周期性矩形波的傅立叶级数 λ2cλ2的表达式。

解：由图可知，E (z ) = 1( - λ ∕ a < z < λ ∕ a )，解：由相干长度D max = Δλ = Δν，所以波列长度2L = Δλ= c=3 × 108= 5.55 × 103mA 0 = 2 λ ∫ E (z )ⅆz = 2(∫λ ∕ a ⅆz + ∫λ ⅆz )= 4Δν5.4 × 104。