浅谈高等代数在中学的应用数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学学号：2011031532 朱伟达指导老师：卢明先【摘要】线性代数是数学的一个分支，是一门数学基础课程．近几年随着高等数学已渐渐走入初等数学，线性代数在初等数学中也有广泛应用．本文共分为五个部分：例说行列式在中学数学中的应用，线性方程组在中学数学中的应用，二次型理论在中学数学中的应用，矩阵与变换引入中学数学的意义及应用，用向量法解决初等几何问题．本文主要是从上述几个方面分析了线性代数在中学数学中的若干应用以及有关例题的讲解过程．【关键词】行列式;齐次线性方程组;二次型; 矩阵;向量Discussion on Application of Higher Algebra in middle schoolZHU wei-da 2011031532 Advisor:LU ming-xianPure and Applied Mathematics College of Mathematics and Computer Science 【Abstract】:Linear algebra is a branch of mathematics. It is a mathematical foundation co urse. In recent years, some content of higher mathematics are begun to learn by middle school stud ents. And Linear algebra has also wide application in elementary mathematics. This paper is divid ed into five parts. In these parts, we will give a lot of examples to show some applications of deter minant, Linear equations, quadratic theory, matrix and transform, vector in elementary mathematic s.【Keywords】: determinant homogeneous linear system quadratic form matrix vector.引言:线性代数是学习自然科学、工程和社会科学的一门高度抽象且逻辑性很强的基础理论课程，它本身理论性强，并且计算繁杂．作为高等学校基础课，除了作为各门学科的重要工具以外，还是提高人才的全面素质中起着重要的作用，他在培育理性思维和审美功能方面的作用也得到充分的重视．可以说任何与数学有关的课程都涉及线性代数知识．学习数学就必须解题，解题要以自己的实践过程来实现．本文在阐述一些重要的概念和定理之后，常常附以具体例子，这样可以使读者从实例中了解问题的具体内容，掌握解决问题的思路和算法步骤，以减少理解障碍，从而提高逻辑读者的推理和判断的能力．第1章 行列式在中学数学中的应用随着高中数学新课程的实施,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注, 行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的。

行列式是线性代数的基本工具,有许多的应用。

这里结合中学数学着重探讨行列式的应用。

本文从三个方面浅析其在中学数学中的应用.1.1 用行列式证明等式利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法，利用其结果相等而得到等式的证明. 例1 已知0a b c，求证3333a b c abc .证明：令3333D a b c abc =++-，则0000a b c a b c a b c a b c Dc a b c a b c a b b ca bcab ca，即33330ab c abc例2 已知1ax by ，1bx cy ，1cx ay ，求证：222ab bc ca a b c .证明：令222()()()()Dab bc ca a b c a b c b c b c a c ，则有110110011a c ab ax by a b Db ac a cx ay c a cbbcbx cy bc.例3 在ABC ∆中，求证222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C .证明 由于2221cos cos cos cos cos 2cos cos cos 1cos 1cos cos cos 1C B A B C A B C CA B Acos cos cos cos 0cos cos 11cos cos 1cos 01cos 0cos cos cos 10cos 1a b C B C BC Ba Cbc A A A aaa Bb Bc A A所以，在ABC 中，222cos cos cos 12cos cos cos A B C A B C 成立.例 4求证：222cos cos cos ()2cos cos cos()1.证明：因为2221cos cos cos 1cos()12cos cos cos()cos cos cos ()coscos()1D又221000sin sin sin 00sin sin sin D，故222coscos cos ()2cos cos cos()11.2 用行列式分解因式由行列式的定义，1112112212212122a a a a a a a a .由此启发，我们可以把一个代数式F 看成两个式子的差，而每个式子又可以看成两个因式的乘积，即F MN PQ (,,,M N P Q 均为代数式)，于是M P FQN.由此即可根据行列式的性质，对某些多项式进行因式分解. 例1分解因式43262420x x x x .解：4322262420(61)4(65)xx x x x x x x 22221165(4)461461x x x xx x x22(4)(65)(2)(1)(2)(5)x x x x x x x .例2 将3386ab ab 分解因式.解：332111862(2)222ab a b ab a b a b a b baba22(2)(224)a b a b ab a b .例3 分解因式222222ab bc ca ac ba cb .解：222222222222()()()abbc ca ac ba cb a b c b c a c a b222()()()111a b c a b c a b b c c a .利用行列式分解因式的关键是将所给多项式的形式写成行列式的形式，并注意行列式的排列规则.1.3 行列式在解析几何中的应用定理1[]2（1）以平面内三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 为顶点的ABC 的面积11223311121x y Sx y x y 的绝对值. （2）通过两点1122(,),(,)P x y Q x y 的直线方程为11221101xy xy x y .例 求过点2,3和点1,4的直线的方程.解 由12310141xy ，得直线的方程为50x y .（3）平面内三条直线111122223333:0,:0,:0L a x b y c L a x b y c L a x b y c .相较于一点或互相平行的充要条件是：1112223330a b c a b c a b c .推论[]2平面上三点112233(,),(,),(,)P x y Q x y R x y 在一条直线上的充要条件是1122331101x y x y x y .定理2[]2 通过平面上三点112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y 的圆的方程为2222111122222222333311011x y x y x y x y x y x y x y x y .例1 平面上给出三个两两相交的圆，每两个圆有一条根轴，则三条根轴互相平行或交于一点.证明：设三个圆的方程分别为220(1,2,3)i i ixy D x E y F i .两两相减得三条交线正是所述三条根轴，它们所在的直线方程为121212131313323232()()()0,()()()0,()()()D D xE E yF F D D x E E y F F D D x E E y F F 三条直线方程的系数行列式为1212121212121313132323233232323232320D D E E F F D D E E F F DD DE EF F D D E E F F D D E E F F D D E E F F故三直线平行或相较于一点.本题实质是求一封闭图形经过仿射变换后所得图形的面积.利用线性变换面积定理求解本题,居高临下,让人耳目一新.第2章 线性方程组在中学数学中的应用1.关于消元法与解的结构。

线性方程组的理论是线性代数的重要理论结果,它是中学数学方程组求解方法的理论化与规范化。

线性方程组是否有解、有解时解的数量、通解的公式表示、解的几何意义等一系列问题都得到了圆满的解决,体现了高等代数相对于初等代数的新观点、新思想、新方法的优越性,对中学数学教学具有高屋建瓴的指导作用。

消元法是中学数学求解二(三)元一次方程组的基本方法,在高等代数中可以得到理论上的完美解释,即由于线性方程组的初等变换保持同解性,所以消元法可行,而且消元法的实质是反复对方程组作初等变换,或者说消元法是对线性方程组的增广矩阵作行的初等变换的过程。

并且,根据线性方程组解的理论容易知道解的只有三种情况(唯一解、无解、无穷多解)以及具体判定方法和解的结构特征。

特别地,在一定条件下,方程组的唯一解可以用公式形式给出,即Cramer 法则。

Cramer 法则的意义主要在于:明确了解的存在性与唯一性,为判断这类方程组的有解性提供了比较直接的方法;将求解问题,转化为行列式的计算,避免了消元法的繁琐计算;以公式的形式给出了解与系数的明显关系,为一般线性方程组公式解的表达式提供了理论依据。

2.几个平面共点、共线、平行与重合的问题。

利用线性方程组的理论容易解决平面共点、共线、平行与重合的问题。

实际上,平面族交于一点的条件是对应的方程组有唯一解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩都等于。

3;（1）平面族共线的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于。

（2）平面族过同一平面(重合)的条件是系数矩阵与增广矩阵的秩都等于1;平面族互相平行的条件是对应的方程组无解,相当于系数矩阵与增广矩阵的秩不相等。

此外线性方程组理论还可解决直角坐标平面上四点共圆或者过不共线的三点的圆的方程等问题。