1122,,
0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩
L
=
=()mn A O A A O A B
O B
O B
B
O A A
A B B O B O
*
=
=*
*=-1
(1)2
1121
21
1211
1
()n n n
n
n n n n n n n a O
a a a a a a a O
a O
---*
==-K N N 1
范德蒙德行列式：
()12222
1211
1112
n i j n
j i n
n n n n
x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L
111
代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij
ij ij M A A M ++=-=-
分块对角阵相乘：11
112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⇒11112222A B AB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭,1122n
n n A A A ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
分块矩阵的转置矩阵：T
T
T T
T A B A C C D B
D ⎛⎫
⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()
1121112
222*
12n T
n ij
n n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪
⎪⎝⎭
L
L M M M L ，ij A 为A 中各个元素的代数余子式. **AA A A A E ==,1*n A A -=, 1
1A A --=.
分块对角阵的伴随矩阵：*
*
*A BA B AB ⎛⎫
⎛⎫=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
1
11A B B
A
---⎛
⎫⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭ 1
2
3111
1
2
13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭
3
2
1
1
1
112
13a a a a a a -⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
矩阵的秩的性质：
① ()A O r A ≠⇔≥1; ()0A O r A =⇔=;0≤()m n r A ⨯≤min(,)m n
④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩
若若0的列向量全部是的解
⑤ ()r AB ≤{}min (),()r A r B
⑥ 若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.
⑦ 若()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪
=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩
⎩ 只有零解
在矩阵乘法中有左消去律
；
若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨
⎩ 在矩阵乘法中有右消去律.
⑧ ()r
r E O E O r A r A A O
O O
O ⎛⎫⎛⎫
=⇒
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
若与唯一的等价，称为矩阵的等价标准型. ⑨ ()r A B ±≤()()r A r B +, {}max (),()r A r B ≤(,)r A B ≤()()r A r B +
⑩ ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()A C r r A r B O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭
①
n 个n 维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1. ③
(,)0αβ=. 记为：αβ⊥
④
2
1n
i i a α====∑⑤
1α==. 即长度为1的向量.
内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性
12n A λλλ=L 1
n
i A λ=∑tr ，A tr 称为矩阵A 特征值与特征向量的求法
(1) 写出矩阵A 的特征方程0A E λ-=，求出特征值i λ. (2) 根据()0i A E x λ-=得到 A 对应于特征值i λ的特征向量.
设()0i A E x λ-=的基础解系为 12,,,i n r ξξξ-L 其中()i i r r A E λ=-. 则A 对应于特征值i λ
的全部特征向量为1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++L 其中12,,,i
n r k k k -L 为任意不全为零的数.
3. ①1
P AP B -= （P 为可逆矩阵
）
②1
P AP B -= （P 为正交矩阵）
③A 与对角阵Λ相似.（称Λ是A 7. 矩阵对角化的判定方法
① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,P 为A 的特征向量拼成的矩阵，1
P AP -为对角阵,主对角线上的元素为A 的特征值. 设i α为对应于i λ的线性无关的特征向量,则有：
1
2
1
n P AP λλλ-⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
O .
② A 可相似对角化⇔()i i n r E A k λ--=，其中i k 为i λ的重数⇔A 恰有n 个线性无关的特征向量.
○注：当i
λ=0为A 的重的特征值时，A 可相似对角化⇔i λ的重数()n r A =-=Ax ο=基础解系的个数.
③ 若n 阶矩阵A 有n 个互异的特征值⇒A 可相似对角化. 正交矩阵 T AA E =
③ 正交阵的行列式等于1或-1； ⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；
⑥ A 的行（列）向量都是单位正交向量组.
施密特正交规范化 123,
,ααα线性无关,
11
2122111313233121122(,)
(,)(,)(,)
(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪
⎪=-
-⎪⎩
正交化
单位化：111βηβ= 222β
ηβ= 333
βηβ=
1. ① 二次型 1112112122
22121211
12(,,,)(,,,)n n n n T
n ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x x x a x x x x x x Ax a a a x ==⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪
⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭∑∑L L L L L L L L L L
其中A 为对称矩阵，12(,,,)T n x x x x =L
② A 与B 合同 T
C AC B =. （,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵）
求C (A I)→(B C^T) 这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换 最后 求得C 和C^T
③ 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数p 负惯性指数二次型的规范形中负项项数r p - ④ 两个矩阵合同⇔它们有相同的正负惯性指数⇔他们的秩与正惯性指数分别相等. ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：A 与B 等价 ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =
2. 12(,,,)T
n f x x x x Ax =L 经过
合同变换
可逆线性变换
x Cy = 化为21
n
i i f d y =∑标准形.
① 正交变换法
② 配方法
（1）若二次型含有i x 的平方项，则先把含有i x 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行， 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;
（2） 若二次型中不含有平方项，但是0ij a ≠ (i j ≠), 则先作可逆线性变换
()1,2,,,i i j j i j
k
k x y y x y y k n k i j x y
=-⎧⎪
=+=≠⎨⎪=⎩L 且,
3.
12,,,n x x x L 不全为零，12(
,,,)n f x x x >L 0.
正定二次型对应的矩阵.
4. ()T
f x x Ax =为正定二次型⇔（之一成立）： （1） x ο∀≠ ，T
x Ax >0； （2）A 的特征值全大于0； （3）f 的正惯性指数为n ； （4）A 的所有顺序主子式全大于0；
（5）A 与E 合同，即存在可逆矩阵C 使得T
C AC E =； （6）存在可逆矩阵P ，使得T
A P P =；
(),n
T A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆
的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，
0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s i
A p p p p n
B AB E AB E
⎧⎪
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵
存在阶矩阵使得 或 ()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关 0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪
⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎩特征向量。