其中，
； 为实际 GDP 的对数，其差分表示增长率； 为
衡量地区资源禀赋条件的变量； 为个体固定效应。
对模型进行再次差分消除固定效应，可得
假定新生 注意到，有
，解释变量 X 满足严格外生。
可知此时滞后因变量 对于这种情形，一般使用
不满足外生性。
作为
的工具变量。
CASE-2：联立方程偏误 在关于收入不平等与经济增长两者关系的分析中，经济学者发现，收入不平等的情况会 影响经济增长，而经济增长也会影响到收入不平等。 模型简单设定如下：
2SLS 估计的计算如下：
以下根据参数 和 的不同取值划分不同的情形，分析各个情形下 LS 估计与 2SLS 估计的一致性。
CASE-1： 此时，LS 估计和 2SLS 估计可简化如下：
即 LS 估计不是一致估计，但 2SLS 估计是一致估计。 事实上，通常意义上使用的 2SLS 估计关注的是 CASE-2： 此时，LS 估计和 2SLS 估计可简化如下：
其中， 为有限对称幂等矩阵，且
。
所以有，
。
证明完毕。
式（3-22）定义的
可作为工具变量 Z 的识别检验（Sargen 识别检验），
即判断 Z 是否为好的工具变量。更明确的说，这里的识别检验同时检验了两方面的内容：(1)
除了参数可识别所必需的 K 个工具变量外，我们是否有必要再使用其它的
个工具
变量；(2) 工具变量 Z 是否满足外生性。
3.3 设定与识别检验
3.3.1 设定检验
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第三章 工具变量估计
如果解释变量 X 满足外生假定，LS 估计与 2SLS 估计都是一致估计，但 LS 估计更有效； 反之，则 LS 估计不是一致估计，而 2SLS 估计仍然是一致估计。因此，我们有必要检验解 释变量是否满足外生假定以确定使用哪种估计方法。
为了更进一步理解 IV 估计的内在思想，我们从 MM 估计最原始的定义出发来考察其构 造过程。
MM 估计：寻找参数的某个估计使得工具变量 Z 与残差正交。
此处，工具变量 Z 满足
。
假设已知方程的估计结果如下：
(3-7)
注意到
，利用
解得的 LS 估计
并不满足
上述 MM 估计的定义，因此，它不是我们要找的解。 幸运的是，虽然 X 与残差 e 不相互正交，但我们总可以把 X 中与 e 正交的那一部分提
根据识别检验的结果，如果检验被拒绝，则逐步删除较差的工具变量（以删除不同的工
具变量 后第一步估计得到的 R2 作为比较的依据），再进行识别检验，直至
或检
验接受。
3.4 弱工具变量
在 IV 估计中，通常假定选取的工具变量是好工具变量，即它与回归方程的误差无关且 与解释变量强相关。但是，实际应用中有时候找到的工具变量可能并没有这么良好的性质， 它可能与解释变量只有弱相关，即相关系数随着样本长度 n 的增大而趋于 0，我们把这类工 具变量称为弱工具变量。
，则由 2SLS 估计的定义可有如下两点性 (3-22)
(2). 如果 X 满足外生假定，且误差项
，则有
其中，此处的 R2 为 e 对 Z 线性回归的非中心化 R2。
(3-23)
证明：
其中，
为对称幂等矩阵；
。
所以有，
。
记
，
，则有
由中心极限定理有， 由大数定律有，
；
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第三章 工具变量估计
2．Wu-Hausman 检验
回归模型设定如（3-15），其中变量 可能不满足外生假定。Wu-Hausman 检验对应
的零假设与备则假设如下：
：
，和
都是一致估计。
：
，只有
是一致估计。
取
为工具变量，构造检验模型如下：
(3-20)
则上述的零假设与备则假设可转化为对参数 的显著性检验。
此时，Wu-Hausman 检验对应式（3-20）中对参数 的 Wald 检验。 同样的，也可证明式（3-20）对应的 Wu-Hausman 检验与 Hausman 检验等价。
记 为使得
可逆的任意矩阵，则有
(3-4)
对应的渐近协方差阵为：
(3-5)
容易证明，当
时，上式的渐近方差达到最小：
至此，我们将
时的估计量定义为工具变量估计：
(3-6)
其中，
。
为了便于记忆，我们将式（3-3）称为狭义的 IV 估计，而式（3-6）称为广义的 IV 估计，
或两步 LS 估计（2SLS）。
3.2.3 理解 IV 估计
第三章 工具变量估计
第三章 工具变量估计
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第三章 工具变量估计
3.1 例子
在经验分析中，经典线性回归模型的几个假定并不总能得到满足；特别是当外生假定不 满足时，普通的 LS 估计不再是无偏估计，甚至可能不再是一致估计。工具变量估计的提出 能克服普通 LS 估计在外生假定不满足时所引发的偏差问题。
统计量中估计系数之差的协方差阵奇异。
不妨记
，
，其中
为外生解释变量， 为 J 维的内生
解释变量， 为其它工具变量。
回归方程分块表示如下：
(3-15)
上式消除 的影响，可得 以 Z 作为 的工具变量，上式的 LS 估计与 2SLS 估计可计算如下：
令
，构造 Hausman 检验统计量如下：
(3-16)
(3-17) (3-18)
证明： 已知有
则 Wu-Hausman 检验统计量可计算如下：
证明完毕。
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第三章 工具变量估计
另外，式（3-20）也可以使用如下形式： 同样的，Wu-Hausman 检验对应参数 的 Wald 检验。
(3-21)
3.3.2 识别检验
不妨记 2SLS 估计的残差为 质：
(1). 无论 X 是否满足外生假定，都有
如果
，即
为可逆方阵，则可解得估计量如下：
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(3-1) (3-2) (3-3)
第三章 工具变量估计
如果
，即
不是方阵，不妨对式（3-2）两边同时乘以
的，可解得估计量如下：
再求逆。同样
由上式的计算过程可知，当利用的工具变量比解释变量多时，利用工具变量来计算估计
量的方法非常多，因此，我们有必要向 LS 估计一样找出其中最有效的一种估计。
3.2 估计与性质
3.2.1 基本假定
线性模型设定如下：
其中， 为被解释变量， 为 K 维的解释变量。
定义 L 维的工具变量 ，其中
，
。
工具变量估计的基本假定有如下 3 点：
假定 3-1（外生假定）：
。
假定 3-2（球形假定）：
。
假定 3-3：
为 i.i.d. 的随机样本向量序列；
为
正定矩阵，
为
的有限满秩矩阵。
以下介绍几个外生性假定被破坏的情形。
CASE-1：滞后因变量与自相关 正常情况下，一个地区的资源越多越有利于其经济的发展。但是，经济学家发现事实经 常是反过来的，丰富的自然资源对经济增长产生了限制作用，自然资源丰裕的地区反而呈现 出令人失望的经济发展绩效的现象，经济学家将这种情况称为“资源的诅咒”。 模型简单设定如下：
(3-19)
其中，
。
注意到，
，即
可逆，所以
有 可逆。
容易证明，在 下有：
。
实际上，也可证明式（3-14）与（3-19）构造的 Hausman 检验统计量等价。
证明：
其中，
。
式（3-14）和（3-19）的 Hausman 检验统计量可变形为：
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其中，
第三章 工具变量估计
，
所以，两种方法下构造的 Hausman 检验统计量等价。 证明完毕。
允许工具变量个数 L 也可以非常大，我们假定 L 可表示为
，其中 为某个有
限常数，且有
；易知，参数
对应工具变量个数非常多的情形。另外，为
了保证解释变量 X 中的每个元素为有限常数，我们还需要约束条件
。
基于上述定义，我们有如下结论：
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第三章 工具变量估计
其中， 为
的有限正定矩阵。
LS 估计的计算如下：
定义
，则有
Hausman 检验统计量：
注意到，
所以有，
则式（3-13）的 Hausman 检验可变换如下：
其中，
。
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。构造如下 (3-13)
(3-14)
第三章 工具变量估计
如果解释变量和工具变量之间包含有共同变量（至少都包含常数项），矩阵 不可逆， 实际使用时可采用其 MP 广义逆。注意到，通常并不是回归方程中的所有解释变量都不满足
的有限
假定 3-1 和假定 3-2 保留了经典线性回归下的假定形式，由于此时解释变量 X 不一定满 足外生性，这两个假定改用工具变量 Z 作为条件。同样的，由于 IV 关注的是估计量大样本 性质，此时经典线性回归中的正态假定不再需要。
3.2.2 MM 估计的思路
由假定 3-1 可有如下样本矩条件：
展开可得
不满足外
假定
可逆，即
，则可对矩阵
联立方程组转化为普通的方程组，再使用普通的 LS 估计。
求逆，将上述的
CASE-3：样本选择性偏差 在研究大学毕业生的工资决定因素时，我们想要了解大学生的毕业工资与其专业或成绩 等原因是否有关，但是，我们并不能获得所有毕业生的数据，而只能获得那些找到工作的毕 业生的资料。 模型简单设定如下：
外生假定，很多解释变量仍然具有外生性，它们可以作为工具变量使用（此时这些变量也应
该作为工具变量使用，因为它们是最好的工具变量），因此，解释变量和工具变量之间通常