1 2
2l m dx(
x sin )2 0 2l

2 ml 2
2 sin2 3
O C
系统的动能 T T1 T2 。 取 900 为势能零点，则系统的势能为：
V mgl cos
则拉格朗日函数：
L T V 2 ml2 (2
2 sin2 ) mgl cos 3
x
楔块 B 的速度 vB ，以及 B 相对于 A 的相对速度
满足如下的矢量关系（方向如图所示）：
vB vA vBr
系统的动能为：
vBr vA
T

1 2
m
Av
A
2

1 2
mBvB 2

P1 2g
x 2

P2 2g
[(x

s cos)2
(ssin)2 ]

1 2g
(P1

P2 )x 2
度
转动。物体的质心 G 在垂直于 O1O2 的直线上，O3G l 。设 O1O2 和 O3G 是物体过 O3
点的惯量主轴，转动惯量为 J1 和 J 2 ，物体对另一过 O3 点的惯量主轴的转动惯量为 J 3 ，试
求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。 解：
以该物体为研究对象，有一个自由度，取 O3G 和 OC 的夹角 为广义坐标。若以框架 O1O2OC 为动系，则物体的相对运动是以角速度 绕轴 O1O2 的定轴转动，牵连运动是以角 速度
垂直于 O1O2 的平面
z’
O3
θ G
y’
坐标系 O3 x y z 的三个坐标轴为过 O3 点的三个惯量主轴，则系统的动能为：
T

1 2
[
J
1
2

J 2 (
cos )2

J 3 (
sin )2 ]
4
取圆环最低点 A 所在的水平面为零势面，系统的势能为： V mgl cos
则拉格朗日函数：
动力学第五章部分习题解答
5-2 滑轮组上悬挂有质量为 10kg 的重物 M1 和质量为 8kg 的重物 M 2 ，如图所示。忽略滑轮
的质量，试求重物 M 2 的加速度 a2 及绳的拉力。
解： 取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理 想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力
M1g, M 2 g 。假设重物 M 2 的加速度 a2的方向竖直向
下，则重物 M1的加速度 a1竖直向上，两个重物惯性力
FI1, FI 2为：
FI2
FI1 M 1a1
FI 2 M 2 a2
(1)
该系统有一个自由度，假设重物 M 2 有一向下的虚位移
x2 ，则重物 M1的虚位移x1竖直向上。由动力学普遍
方程有：
δx1
M1g FI1
W M1gx1 M 2 gx2 FI1x1 FI 2x2 0
以角速度
绕铅垂边转动。忽略摩擦，试建立杆的相对运动微分方程。
解：
框架（质量不计）以匀角速度
绕铅垂边转动，该系统是保守系统，有一个自由度，取 AB 杆与铅垂边的夹角 为广义坐标。若以框架为动系，AB 杆上任意一点的速度是该点相对于
框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直。杆 AB 的动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。AB 杆相对于框架作
于广义坐标 的广义力 QM 0 ；
取 0, 0 ，在这组虚位移下力偶 M 所作的虚功为[W ] M ，因此力偶 M
对应于广义坐标 的广义力 QM
[W ]
M；
代入拉格朗日方程
d dt
(
L
)

L
QM
0 ，整理可得：
解：
取楔块 ABC 和圆柱构成的系统为研
究对象，该系统为保守系统，有二个
自由度，取楔块水平滑动的位移 x ， 零势面
vA
以及圆柱的转角（A 点 =0）为广
φ
义坐标。若以楔块为动系，楔块的速
度 vA ，圆柱轴心 O 的速度 vo ，以及
x
轴心 O 相对于 A 的相对速度满足如
vOr
下的矢量关系（方向如图所示）：
绕 OC 轴的定轴转动，物体的绝对角速度 φ 是 和
的矢量之和。为了方便起见， 以 O1O2 为 x 轴， O3G 为 y 轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，将角速度是 和
在该坐标系上投影有： φ i
cos j
sin z 。

x’
z’ y’
2
2
取圆环最低点 A 所在的水平面为零势面，系统的势能 为：
V mgr(1 cos )
则拉格朗日函数：
L T V 1 mr2 (2
2 sin2 ) mgr(1 co 2
零势面
代入拉格朗日方程：
d dt
( L )

L Biblioteka 0，整理得质点的运动微分方程为：
绕铅垂直径 AB 转动，如 图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩 M 。
2
解：
1.求质点的运动微分方程
圆环（质量不计）以匀角速度
绕铅垂轴 AB 转动，该 系统有一个自由度，取角度 为广义坐标。系统的动能
为：
T 1 m(r)2 1 m(
r sin )2
( g
2 cos )sin 0 r
2.求维持圆环作匀速转动的力偶 M 如果求力偶 M ，必须考虑圆环绕铅垂轴 AB 的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴 AB 匀 速
转动”这一约束，将力偶 M 视为主动力。此时系统有两个自由度，去角度 和圆环绕轴 AB 的转角 为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以 代替

1 g
P2
cosxs

1 2g
P2 s2
取过 x 轴的水平为零势面，系统的势能为：
V P2s sin
则拉格朗日函数：
L
T
V

1 2g
(P1

P2 )x 2

1 g
P2
cosxs

1 2g
P2 s2

P2s sin
将水平力 F 视为非有势力，它对应于广义坐标 x 和 s 的广义力计算如下： 取 x 0,s 0 ，在这组虚位移下力 F 所作的虚功为[W ]x Fx ，因此力 F 对应于广
则拉格朗日函数： L T V 1 mS 2 mg S 2
2
8b
代入拉格朗日方程：
d dt
(SL )

L S

0
，整理得摆的运动微分方程为：
S

g 4b
S

0，
解得质点的运动规律为： S Asin(1 2
g b
t

0
)

0
，其中
A,
0
微积分常数。
5-13 质量为 m 的质点沿半径为 r 的圆环运动，圆环以匀角速度
g
，方向水平向右。
楔块 B 的相对加速度： aBr
s
FP1 cos (P1 P2 )P2 sin P2 (P1 P2 sin2 )
g ，方向沿斜面向上。
5-18 在光滑水平面上放一质量为 m 的三角形楔块 ABC，质量为 m1 ，半径为 r 的均质圆柱沿
楔块的 AB 边滚动而不滑动，如图所示。试求楔块的加速度及圆柱的角加速度。
（1）
6
代入拉格朗日方程
d dt
(
L s
)

L s
QsF

F cos ，整理可得：
P2 cosx P2s (F cos P2 sin)g （2）
由方程(1)和方程(2)解得：
楔块 A 的加速度：
aA

x
F sin P2 cos P1 P2 sin2
该系统为保守系统，有一个自由度，取 为广义坐标。系统的动能为：
T 1 m[(l R )]2 2
1
取圆柱轴线 O 所在的水平面为零势面，系统 的势能为：
V mg[l R sin (l R ) cos ]
零势面
拉格朗日函数 L T V ，代入拉格朗日方
程有：
义坐标 x 的广义力 QxF F ； 取x 0,s 0 ，在这组虚位移下力 F 所作的虚功为[W ]s F coss ，因此力 F 对应
于广义坐标 s 的广义力 QsF F cos ；
代入拉格朗日方程
d dt
(
L x
)

L x
QxF

F ，整理可得：
(P1 P2 )x P2 coss Fg
点的运动规律。 解：
该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标 S
为广义坐标。系统的动能为：
T 1 mS 2 2
取轨线最低点 O 所在的水平面为零势面，系 统的势能为：
h 零势面
V mgh
由 题 可 知 dh sin S ， 因 此 有 ：
dS
4b
S
h
S dS S 2
0 4b
8b
平力 F ，如图所示。忽略摩擦，角 已知，试求楔块 A 的加速度及楔块 B 的相对加速度。
解：
取楔块 A，B 构成的系统为研究对象，该系统有
二个自由度，取楔块 A 水平滑动的位移 x ，以
s
及楔块 B 相对于 A 的沿斜面滑动的位移 s 为广
义坐标。若以楔块 A 为动系，楔块 A 的速度 vA ，
vO vA vOr