（第8题图）苏州大学2018届高考考前指导卷1一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若集合{|24},{|}A x x B x x a =<=>≤，若{|34}A B x x =<<I ，则实数a = ▲ ． 2．设复数1i 1z z +=--，其中i 为虚数单位，则||z = ▲ ． 3．如图是七位评委打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ ．4．甲、乙两人下棋，已知甲获胜的概率为，且两人下成和棋的概率为，则乙不输的概率为 ▲ ．5．根据右图所示的伪代码，当输出y 的值为 12时，则输入的x 的值 为 ▲ ．6．已知双曲线C ：22221(0,0x y a b a b-=>>）的离心率为2，焦点到渐近C 的焦距为 ▲ ．7．设实数x ，y 满足条件01,02,21,x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩≤≤≤≤≥则|343|x y ++的最大值为 ▲ ．8．若函数sin()(0)y x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则ω的 值为 ▲ ．9．设n S 为正项等比数列{}n a 的前n 项和，若48102a a a ⋅=，则3S 的最小值为 ▲ ．10. 三棱锥BCD A -中，E 是AC的中点，F 在AD 上，且FD AF =2，若三棱锥BEFA -的体积是2，则四棱锥ECDFB -的体积为 ▲ ．11. 我国南宋时期数学家秦九韶的著作《数书九章》中记载了求三角形面积的“三斜求积”方法，相当于如下公式ABCS ∆现已知ABC △的周长为42，面积为84，且5cos 13B =，则边AC 的长为 ▲ ．3212. 已知 O 为矩形 P P P P 内的一点，满足 13134,5,7OP OP PP ===，则 24OP OP ⋅=u u u u r u u u u r▲ ． 13. 已知直线22y kx k =+-与曲线232x y x -=-交于A B ，两点，平面上的动点P 满足2PA PB +u u u r u u u r≤，则||PO u u u r 的最大值为 ▲ ．14. 已知函数22e ()ln 0,x x a f x x x a ⎧⎪=⎨⎪<<⎩，≥，，若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得00()f x kx =成立，则实数a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知函数cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-.（1）求函数()f x 的定义域； （2）求函数()f x 的单调增区间.16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，BC ，,E F 分别为,BC CD 的中点，且PF ⊥平面ABCD ． 求证：（1）EF ∥平面PBD ；BA（第16题图）（2）平面PAE⊥平面PEF．17．（本小题满分14分）某工厂两幢平行厂房间距为50m，沿前后墙边均有5m的绿化带，现在绿化带之间空地上建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m，水池一组池壁与厂房平行.如果池底总造价为c元，垂直于厂房的池壁每1m2的造价为a元，平行于厂房的池壁每1m2的造价为b元，设该贮水池的底面垂直于厂房的一边的长为x（m）．（1）求建造该长方体贮水池总造价y的函数关系，并写出函数的定义域；（2）试问怎样设计该贮水池能使总造价最低并求出最低总造价．18．（本小题满分16分）如图，椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>经过点(0,1)A-，右准线:2l x=，设O为坐标原点，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于不同两点,P Q（均异于点A），直线AP交l于M（点M在x轴下方）．（1）求椭圆E的标准方程；（第17题图）（2）过右焦点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆H 交于,C D两点，若CD =，求圆H 的方程；（3）若直线AP 与AQ 的斜率之和为2，证明：直线PQ 过定点，并求出该定点．19．（本小题满分16分）已知函数()a f x ax x =-，函数()ln g x c x =与直线2ey x =相切，其中a c ∈R ，，e 是自然对数的底数． （1）求实数c 的值；（2）设函数()()()h x f x g x =-在区间1(,e)e内有两个极值点．①求a 的取值范围；②设函数()h x 的极大值和极小值的差为M ，求实数M 的取值范围．（第18题图）20．（本小题满分16分）已知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，且11a =，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ．若1222n n n S n +=--对任意的*n ∈N 恒成立．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满足n n n b n c a n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数,,,.问：是否存在正整数m ，使得1187m m m c c c ++=，若存在求出m 的值，若不存在，说明理由；（3）若存在各项均为正整数、公差为d '的无穷等差数列{}n d ，满足152018d a =，且存在正整数k ，使得115,,k d d d 成等比数列，求d '的所有可能的值．苏州大学2018届高考考前指导卷（1）参考答案一、填空题1．3 2．1 3．854． 5．e 6．4 7．14 8．4 9．6 10．10 11．15 12．4- 13．221+ 14．e 填空题参考解答或提示1．因为{|4}A B x a x =<<I ={|34}x x <<，所以a =3. 2．化简得1i1iz -+=+，所以||z =1. 3．8484848687855x ++++==，218(11114)55s =++++=.4．乙不输的概率P == .5．由题意知20,1,0,ln ,x x y x x ⎧+=⎨>⎩≤，由12y =知，e x =.6．因为2,3cb a==，所以2c =，所以焦距为4.7．画出可行域（如图），可知0,0x y >>，所以目标函数|343|343z x y x y =++=++在点1,2A （）处取得最大值14. 8．由图可知1152424ωωππ-=π，所以=4ω. 9．由48102a a a ⋅=，得22a =，设公比为0q >，则32=2226S q q ++=≥.当且仅当=1q 取等号.10．13A BEF B AEF AEF V V S h --∆==⋅，13B ACD ACD V S h -∆=⋅其中h 为点B 到平面AEF 的距离，而16AEF ACD S AE AF S AC AD ∆∆⋅==⋅，所以612B ACD B AEF V V --==，所以10B ECDF B ACD B AEF V V V ---=-=．11．由5cos 13B =，得12sin 13B =，由1sin 842ABC S ac B ∆==，得182ac =，又42a b c ++=，所以42a c b +=-，由余弦定理222222cos ()22cos (42)504b a c ac B a c ac ac B b =+-=+--=--，解得15b =. 12．连结P P P P 交于P 点，()()()()22222424422424444OP OP OP OP OP P P OP OP +-⋅=-=-u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r()()()()222213311313134444OP OP P P OP OP OP OP OP OP ++-=-=-=⋅u u u r u u u r u u u u ru u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r22213131313162549cos 422OP OP PP OP OP POP +-+-=⋅⋅∠===-．13． 由2(2)y k x -=-知直线过定点M 2,2（），由231=2+22x y x x -=-- 知定点M 2,2（）为曲线的对称中心，即点M 为AB 的中点，所以=2|2PA PB PM +u u u r u u u r u u u u r|≤，故点P 的轨迹为以M 为圆心1为半径的圆（及内部），所以||||+1=22+1PO OM u u u r u u u u r≤.14．设2()ln 2e x h x x =-，则21e '()e e x x h x x x-=-=，(0,e)时，'()0h x >，()h x 单调递增，当(e,+)x ∈∞的最大值为(e)0h =，即2ln 2e x x ≤，所以ln 2e x x x ≤.记2el )n 0()(xx a f x g x x x x a x⎧⎪⎪⎨⎪<<⎪==⎩，≥，，由题意知，对任意实数k ，总存在实数0x ，使得0()k g x =成立，所以函数()g x 的值域为R ，故实数a 的值为e . 二、解答题15. 解（1）由题意，得cos sin 0x x -≠，即(cos sin x -有222x k π≠π+，可知ππ4x k ≠+，所以函数()f x ,4+（2）cos 2(sin cos )()cos sin x x x f x x x+=-22(cos sin )(sin cos )cos sin x x x x x x-+=-(cos sin )(sin cos )x x x x =++sin 21x =+，由ππ2π22π22k x k -++≤≤，得ππππ44k x k -++≤≤， 又因为 ππ4x k ≠+， 所以函数()f x 的单增区间是ππ(π,π)44k k -++，k ∈Z . （或写成ππ[π,π)44k k -++） 16. 证明：（1）因为,E F分别为,BC CD 的中点，所以EF BD EF PBD ⊄平面BD PBD ⊂面PBD AB a =3FE a =6AE a =32FA a =321123442246y 2x () =x 2∙ey 1x () =ln x ()x222AE EF AF +=AE EF ⊥PF ABCD ⊥平面D E A ABC ⊂平面PF AE ⊥PF EF F =I PF EF PEF ⊂、平面AE PEF ⊥平面AE PAE ⊂平面PAE ⊥PEF 解（1）由题意，贮水池的底面垂直于厂房的一边长为x m ，则平行于厂房的一边长为4800m 3x ，即1600m x， 所以总造价16002323y c a x b x=+⨯⨯+⨯⨯⨯， 即(]160060,40.b y c a x x x ⎛⎫=+⨯⋅+∈ ⎪⎝⎭，（2）因为0,0a b >>，所以1600b a x x ⋅+=≥ 当且仅当1600,ba x x⋅=即x =. 若b a ≤,则(0,40⎤⎦,当x =,min y c =+； 若b a >,则当(]0,40x ∈时,22216001600660b ax b y a x x ⎛⎫-⎛⎫'=⨯-=⨯< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以函数y 在x ∈(0,40]上单调递减，也即当x ＝40时，min 240240y c a b =++. 综上可知，当b a ≤时，水池设计成垂直于厂房的一边的边长为，平行于厂房的一边的边长为，最低造价为c +b a >时，水池设计成底面边长为40m 的正方形时，最低造价为240240c a b ++元.18. 解 （1）由222212b ac a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩，解得1a b ==．所以椭圆E 的标准方程为2212x y +=．（2）设(2,)M m ，由CD OM ⊥得12CD OMk k m=-=-，则CD 方程为2(1)y x m=--，即220x my +-=． 因为圆心(1,)2m H ，则圆心H 到直线CD的距离为22|22|m d +-==圆半径为2OM r ==，且2CD =，由222()2CD d r +=，代入得2m =±． 因为点M 在x 轴下方，所以2m =-，此时圆H 方程为22(1)(1)2x y -++=． （3）设PQ 方程为：(1)y kx b b =+≠-，(0,1)A -，令1122(,),(,)P x y Q x y ， 由直线AP 与AQ 的斜率之和为2得1212112y y x x +++=， 由1122,y kx b y kx b =+=+得1212(1)()22b x x k x x +++=， ①联立方程2212y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(12)4220k x kbx b +++-=， 所以122412kbx x k -+=+，21222212b x x k -=+代入①得，(1)(1)0b b k ++-=，由1b ≠-得10b k +-=，即1b k =-， 所以PQ 方程为1(1)1y kx k k x =+-=-+， 所以直线PQ 过定点，定点为(1,1)． 19. 解（1）设直线2ey x =与函数()ln g x c x =相切与点00(,ln )P x c x ， 函数()ln g x c x =在点00(,)P x y 处的切线方程为：000ln ()c y c x x x x -=-，02ec x =， 把0x =，0y =代入上式得0e x =，2c =． 所以，实数c 的值为2． （2）①由（1）知()2ln ah x ax x x=--， 设函数()()()h x f x g x =-在区间1(,e)e内有两个极值点1212,()x x x x <，令22222'()0a ax x ah x a x x x -+=+-==，则220ax x a -+=，设2()2m x ax x a =-+因为121x x =，故只需0,20,(e)0,am ∆>⎧⎪⎪>⎨⎪>⎪⎩ 所以，22e 1e 1a <<+．②因为121x x =，所以，12112212()()2ln (2ln )a aM f x f x ax x ax x x x =-=----- 11111112ln (2ln )a a ax x ax x x x =----- 2111222ln aax x x =--． 由21120ax x a -+=，得12121x a x =+，且111ex <<． 122221111112211122211122ln 4(ln )112x x x x M x x x x x x +-=--=-++． 设21x t =，211et <<，令11()4(ln )12t t t t ϕ-=-+， 222212(1)'()4()0(1)2(1)t t t t t t ϕ--=-=<++，()t ϕ在21(,1)e上单调递减，从而21(1)()()e t ϕϕϕ<<， 所以，实数M 的取值范围是28(0,)e 1+． 20. 解（1）当1n =时，1121a b =，由11a =，得12b =； 由1222n n n S n +=--得222n n n S +=-①，当2n ≥时有：11122n n n S --+=- ②， 由②－①得(2)2n n n a nn b =≥． 分别令2,3n =可得：2212a b =，3338a b =．设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则211,22123.82d q d q+⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩ 解得1,2,d q =⎧⎨=⎩或1,32.3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验1,2,d q =⎧⎨=⎩符合条件，1,32.3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不合题意，舍去． 故n a n =，2n n b =．（2）2n n n c n n ⎧⎪=⎨⎪⎩,是奇数,,是偶数.当m 是奇数时，由1187m m m c c c ++=，可得2(1)187m m m +=+，即18721m m m +=+， 所以186211m m =++，解得5m =， 考虑到1862,11m m ++在正整数集上分别单调递增和递减， 故不存在其他解，即5m =是惟一解．当m 是偶数时，由1187m m m c c c ++=可得：118722m m m ++⋅=， 即1862m =，1862是偶数符合条件．综上m 的值为5和1862．（3）由（1）1520182018==d a ，设{}n d 的公差为'd ，则0d '≥且'∈d Z ，当0'=d 时，显然成立；当0'>d 时，151142018,'=+=d d d所以1201814d d '=-，15(15)2018(15)k d d k d k d ''=+-=+-，由2151=⋅k d d d ，得22018(201814)[2018(15)]''=-+-d k d ，即222201820182018(15)14201814(15)k d d k d '''=+--⨯--， 所以22018(15)14201814(15)k d d k d '''-=⨯+-，因为0d '>，所以2018(15)14201814(15)k k d '-=⨯+-， 即2018201815142018141415k kd d ''-⨯=⨯+-⨯，所以(201814)1420182018151415d k d ''-=⨯+⨯-⨯故1420182018151415201814d k d '⨯+⨯-⨯='-15(201814)1420187210091520181410097'-+⨯⨯⨯==+''--d d d ， 由0d '>，得100971009d '-<，从而要使k *∈N ，只要100971,2,7,14'-=d ，又100971,144d d d *'''∈∴-==N ，综上，0144''==d d 或.。