指数与对数函数题型总结
题型1 指数幂、指数、对数的相关计算 【例1】计算：3
5
3
log 1+－2
3
2
log 4+＋10
3lg3
＋⎝⎛⎭⎫1252log .
【例2】计算下列各式的值：
(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 25＋2
3lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. 变式： 1.计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋3
5
lg 27－lg 3
lg 81－lg 27.
2.计算下列各式的值：
(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4
； (2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 3)2＋lg 16＋lg 0.06.
3.计算下列各式 (1)化简
a 4
3－8a 3
1b
4b 3
2
＋23
ab ＋a
3
2÷⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－2
3b a ×3ab ； (2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－253
5log
. (3)求lg 8＋lg 125－lg 2－lg 5log 54·log 25
＋525log ＋1643
的值．(4)已知x ＞1，且x ＋x －1＝6，求x 2
1－x 21
-.
题型2指数与对数函数的概念
【例1】若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值范围为________．
【例2】指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________． 【例3】函数y ＝a x －
5＋1(a ≠0)的图象必经过点________． 变式： 1.指出下列函数哪些是对数函数？
(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 6x ； (3)y ＝log x 3；(4)y ＝log 2x ＋1.
题型3 指数与对数函数的图象 【例1】如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与1的大小关系是( ）
A ．a ＜b ＜1＜c ＜d
B ．b ＜a ＜1＜d ＜c
C ．1＜a ＜b ＜c ＜d
D ．a ＜b ＜1＜d ＜c
【例2】函数y ＝|2x
－2|的图象是( )
【例3】函数y ＝2x
＋1
的图象是( )
【例4】直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________． 【例5】方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是____________．
变式： 1.如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，1
10，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4
的a 值依次为( )
A.3，43，35，110
B.3，43，110，35
C.43，3，35，110
D.43，3，110，3
5
2.函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( ) A ．(1,2) B ．(2,1) C ．(－2,1) D ．(－1,1)
3.如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )
A ．0＜a ＜b ＜1
B ．0＜b ＜a ＜1
C ．a ＞b ＞1
D ．b ＞a ＞1
4.函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
5.函数y ＝x 3
3x －1
的图象大致是( )
题型4指数与对数型函数的定义域、值域、单调性、奇偶性 【例1】函数f (x )＝1－2x ＋
1
x ＋3
的定义域为____________． 【例2】判断f (x )＝
x
-x ）（223
1的单调性，并求其值域． 【例3】设0≤x ≤2，y ＝42
1 x －3·2x ＋5，试求该函数的最值．
【例4】求y ＝(log 2
1x )2－1
2
log 2
1x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
变式： (1)函数f (x )＝1
1－x
＋lg(1＋x )的定义域是( )
A ．(－∞，－1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－1,1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，＋∞) (2)若f (x )＝
1
log 2
1(2x ＋1)
，则f (x )的定义域为( )
A.⎝⎛⎭⎫－12，0
B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞
C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞)
D.⎝⎛⎭⎫－1
2，2 3.求下列函数的定义域与单调性． (1)y ＝log 2(x 2－4x －5)；(2)y ＝log 0.5(4x －3) 4.讨论函数f (x )＝log a (3x 2－2x －1)的单调性． 5.函数f (x )＝|log 2
1x |的单调递增区间是( )
A.⎝⎛⎦
⎤0，1
2 B ．(0,1] C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞) 6.已知x 满足不等式：2(log 2
1x )2＋7log 2
1x ＋3≤0，求函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫log 2x 4·⎝⎛⎭
⎫log 2x
2的最大值和最小值． 7.已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值以及y 取最大值时x 的值． 题型5 指数与对数基本性质的应用 【例1】求下列各式中x 的值：
(1)log 2(log 4x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log (2－1)
1
2＋1
＝x . 【例2】比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2； (2)log a 3.1，log a 5.2(a ＞0，且a ≠1)； (3)log 30.2，log 40.2； (4)log 3π，log π3. 变式： (1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( ) A ．a ＞c ＞b B ．b ＞c ＞a C ．c ＞b ＞a D ．c ＞a ＞b (2)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞c D ．c ＞a ＞b 3.设a ＝log 2
13，b ＝⎝⎛⎭
⎫130.2，c ＝23
1
，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c
4.已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝1
2log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )
A ．x ＞y ＞z
B ．z ＞y ＞x
C ．y ＞x ＞z
D ．z ＞x ＞y
5.若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
a x
，x ＞1，(4－a
2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( )
A ．(1，＋∞)
B ．(1,8)
C ．(4,8)
D ．[4,8) 题型6 指数与对数函数的综合应用
【例1】已知函数f (x )＝2x －1
2x ＋1. (1)求f [f (0)＋4]的值； (2)求证：f (x )在R 上是增函数；
(3)解不等式0＜f (x －2)＜15
17.
【例2】已知函数f (x )＝log a
x ＋1
x －1
(a ＞0且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数的奇偶性和单调性． 【例3】已知函数f (x )＝log a
1－mx
x －1
(a ＞0，a ≠1，m ≠1)是奇函数． (1)求实数m 的值； (2)探究函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性． 题型7 探究与创新
【例1】(1)求2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1的值； (2)若log 2[log 3(log 4x )]＝0，log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．
【例2】已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z ，且2x ＝py . (1)求p ； (2)求证1z －1x ＝12y .
【巩固训练】 A 级试题：
1.化简(log 23)2－4log 23＋4＋log 21
3，得( )
A ．2
B ．2－2log 23
C ．－2
D ．2log 23－2
2.若函数f (x )＝3x ＋3－
x 与g (x )＝3x －3－
x 的定义域为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数 C. f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 3.若函数f (x )＝
2
a
-ax x 22+－1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．
4.lg 5＋lg 20的值是________．
5.已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1
n
＝________.。