f (m) =
⎛ m2 ⎞ exp ⎜ − 2 ⎟ 2 2πσ m ⎝ 2σ m ⎠ 1
求此时的似然比判决规则 3) m 为 [ m0 , m1 ] 上的均匀分布的随机参量，似然比判决规则。
9.
一个二元通信系统以等概率发送信息 “0” ， “1” ； “0” 不发送信号， “1” 发送复包络为 F ( t ) 的窄带脉冲信号。信号持续时间为 T。采用 M 个接收机接收信号
0
{λ ( x ) H } = 1 ， {λ ( x ) H } − E {λ ( x ) H } = Var {λ ( x ) H } 。
1 பைடு நூலகம் 0
8.
在二元参量的统计检测中，两个假设下的信号分别为
H0 : H1 :
2 x ~ N ( 0, σ n ) 2 x ~ N ( m, σ n )
其中 m 是信号的参量。 1) 试给出 m 为确定量时的似然比判决。( m > 0 和 m < 0 时的判决规则不同) 2) m 为随机参量，其概率密度函数为
,10
其中 μ > 0 ，噪声 ni 是独立同分布的，其概率密度函数为
⎧1 −1 ≤ n ≤ 1 f n ( n) = ⎨ other ⎩0
求符号检测器相对于线性检测器的 ARE 。
17. 二元假设如下：
⎧ H 0 : xi = ni i = 1, 2, ⎨ ⎩ H1 : xi = μ + ni
,10
x2 ( t )
d dt
y1 ( t )
y2 ( t )
4.
均值为零、 方差为 σ n 的白噪声系列 n ( k ) 通过冲激响应为 h ( k ) = ⎨
2
{
}
⎧1, k = 0,1, 2,3 的 ⎩0, 其它
线性时不变系统，输出为 y ( k ) ，求 （1） y ( k ) 的均值； （2） y ( k ) 与 n ( k ) 的互相关函数； （3） y ( k ) 的自相关函数。
⎧ e −α t h (t ) = ⎨ ⎩ 0
t≥0 t<0
求输出峰值信噪比，并证明此时的信噪比总是小于等于 2)中的信噪比。 4) 若采用高斯滤波器
2 ⎧ ⎪ ( t − t0 ) ⎫ ⎪ h ( t ) = exp ⎨ − ⎬ ， −∞ < t < ∞, t0 > 0 2β ⎭ β ⎪ ⎪ ⎩
1
{
}
2)
假定 A 具有概率密度函数
f ( Ai ) = (1 − p ) δ ( Ai ) + p
⎧ − Ai2 ⎫ Ai ex p ⎨ 2⎬ A02 ⎩ 2 A0 ⎭
若采用纽曼-皮尔逊准则， 求判决规则以及检测概率 PD ， 并给出 A0 → 0 时的似然比形 式。
16. 二元假设如下：
⎧ H 0 : xi = ni i = 1, 2, ⎨ ⎩ H1 : xi = μ + ni
判为H 0 ⎧λ ( xi ) ≤ th0 ⎪ 判为H1 ⎨λ ( xi ) ≥ th1 ⎪th ≤ λ ( x ) ≤ th 则增加一个新样本，采用同样的规则再次进行判决 i 1 ⎩ 0
假设每次独立判决所付代价为 C （不论判决正确与否或者是否做出判决，都要付出一 定代价） ，C10 和 C01 分别表示第一、二类错误判决所付出的额外代价。 （即正确判决和 不做出判决的代价为 C ，而错误判决的代价为 C10 + C 或 C01 + C 。 ） 1) 试求贝叶斯准则下，二元序贯检检测的判决门限； 2) 试给出该情况下，终止判决时所用样本数 N 的数学期望。 （提示：平均代价为 C = C10 P ( H 0 ) + C01 P ( H1 ) + C ⋅ E { N } ， 11. 二元通信系统如下：
H 0 : xi ( t ) = ni ( t ) H1 : xi ( t ) = Ai cos (ωc t + θi ) + ni ( t )
i = 1,
,M, 0 ≤ t ≤T
式中， ni ( t ) 是独立同分布的功率谱密度为 N 0 2 的高斯白噪声； θ i 是在 [ 0, 2π ) 均 匀分布的相互不相关的随机变量， ωc 是确定量。 1) 假定 Ai 是离散随机变量，已知 P ( Ai = 0 ) = 1 − p ， P ( Ai = A0 ) = p ；若采用纽 曼-皮尔逊准则，求判决规则。并给出 A0 → 0 时的似然比形式。
{
}
{ { {
} }
} {
}
5.
谱密度为 N 0 / 2 的白噪声输入到如图 2.13 所示的滤波器，求滤波器输出端测得的总噪 声功率。
| H ( jω ) |2
1
Δω
0
c
Δω
c
6.
假设 xi
( i = 1, 2,
, N ) 是独立同分布的高斯随机变量，它们的概率密度函数为
f ( xi ) =
n
⎧ x2 ⎫ exp ⎨− i 2 ⎬ 2πσ ⎩ 2σ ⎭ 1
,10
其中 μ > 0 ，噪声 ni 服从对称分布。观测样本值为：
6.2, − 4.4, 6.5, 4.1, 7.7, 1.4, 1.5, − 0.3, 8.0, 2.6, 2.4, 6.0, 5.1, 4.2, −0.5, 0.7, −0.2, − 0.6, 5.5, 4.0
若采用秩检测器，并取 α = 0.15 ，试给出相应的判决。
12. 已知白噪声背景下的确知信号
⎧A 0 ≤ t ≤ T s (t ) = ⎨ ⎩0 其它
1) 2) 匹配滤波器的输出峰值信噪比。 若不用匹配滤波器，而用一个简化的线性滤波器
⎧ e −α t h (t ) = ⎨ ⎩ 0
0≤t ≤T
其它
求输出峰值信噪比，以及使输出峰值信噪比最大所对应的 α 值，并与 1)的匹配滤波器 的性能作比较。 3) 若采用如下滤波器
E N 0 = 4 ，求错误判决概率。
+1
s0 ( t ) 0
−1
0
+1
T
2T
3T
s1 ( t ) 0
−1
图 3.34 信号波形
2)
若每个信号是一个“字”，每个字包含 3 个比特。假设我们每次检测一个比特，若 检测时最多只有一个比特出错，该字仍能被正确检测。那么每比特的错误概率是
多少？ 3) 若我们能纠正一个字中单个比特的错误，那么解码后字的错误检测概率是多少？
λk xk2 G=∑ k =1 2λk + N 0
K
其中 λk 为 Rs (τ ) 相应得特征值。 （提示： Var {sk } = λk ， Var {sk + nk } = λk + N 0 2 ） 求在各个假设下 γ T 的均值和方差。
14. M 元非相干频移键控问题。
H 0 : x ( t ) = A0 sin (ω0t + θ 0 ) + n ( t ) H1 : x ( t ) = A1 sin (ω1t + θ1 ) + n ( t ) H M −1 : x ( t ) = AM −1 sin (ωM −1t + θ M −1 ) + n ( t )
统计信号处理典型习题
1.
自相关函数为 Rx (τ ) = 2e
−4|τ |
的随机信号 x ( t ) 通过冲激响应为 h ( t ) = 3e u ( t ) 的线
−3t
{
}
性系统，输出为 y ( t ) ，求： （1） y ( t ) 的自相关函数 R y (τ ) ； （2） x ( t ) 与 y ( t ) 的互相关函数 Rxy (τ ) 和 R yx (τ ) 及其在 τ = 0、τ =1 时的值。
H0 : H1 :
xk ( t ) = nk ( t ) + B ⋅ Re { F ( t ) exp ( jωt + jψ )} + Ck ⋅ Re { F ( t ) exp ( jωt + jφk )}
xk ( t ) = nk ( t )
k = 1, 2,
2
,M ，
0≤t ≤T
幅度 Ck 是参数为 σ 的瑞利分布随机变量，相位 φk ， k = 1, 2, 上均匀分布的随机变量。 Ck ，φk ， k = 1, 2,
P (n = N ) = P (n = M ) =
这种情况下的判决规则如何？
1 2
7.
似然比 λ ( x ) = 1) E 2) E 3) E
f ( x H0 )
f ( x H1 )
，在 H1 和 H 0 为真时具有不同的概率密度函数。证明：
{λ
n
( x ) H1} = E {λ n+1 ( x ) H 0 } ，
{
} {
}
{
}
{
}
x (t )
cos ωt
⊗
⊗
sin ωt
＋
-
⊕
z (t )
y (t )
3.
假设线性系统如图 2.11 所示：输入端 x1 ( t ) 与 x2 ( t ) 为联合广义平稳随机过程，输 出分别为 y1 ( t ) 和 y2 ( t ) 。 （1）求输出端互相关函数 R y1 y2
{
} {
2
则随机变量 y = ∑ xi2 是自由度为 n 的 χ 分布。
i =1
1) 二元假设如下：
H0 : n = 2 H1 : n = N
假设 C00 = C11 = 0 ， C10 = C01 = 1 ，求极大极小准则下的判决规则。 2) 假定 H1 中自由度数是一离散随机变量，其概率函数为如下两点分布