平均速度：
因为粘性底层及过渡区仅限于管壁很薄的流体层内，其余为湍流核心区， 所以管内的平均速度可采用湍流核心区的速度分布积分得到。
um
qV
R2
1
R2
R
u2 rdr
u
0
R2
R u＋ 2 rdr
0
u

R2
R
0
2.5ln
圆管内充分发展的流动从管壁到管子中心可分三个区域： 近壁的粘性底层；湍流核心区；过渡区 三个区域的速度分布见 9.3.2通用速度分布
对湍流核心区也可表示为：
1
u u max

1
r R
n
n 值与Re有关
Re 4 104 1.1105 , n 6 Re 1.1105 3.2 106 , n 7 Re 3.2 106, n 10
yx
T

k1l 2
(du )2 dy
将k1归并到混合长度l 中有：
yx
T
l2 ( du )2
dy
考虑

yx
T
的方向性有：
yx
T
l2
du dy
du dy
湍流粘性系数 T
9.3.2 通用速度分布－－壁面率
对于固体壁面附近的湍流，在壁面临近区域，
量流量相等。
微元体的受力按Z轴正方向投影相加，再根据动量守恒方 程 则有：
rz
2 rdz

( rz

rz
r
dr)2
(r

dr)dz

p2
rdr
( p p dz)2 rdr g cos 2 rdrdz 0
z
管内层流流动
切应力方程：
(r rz
r
)
r 2
u

R2 4
p L
1

r R
2


r zR
u
rz
圆管层流速度分布 和切应力分布
•速度为抛物线分布； •切应力为线性分布；
管内层流流动
最大速度：
umax

R2 4pBiblioteka L 平均速度：um

1
z R2
R
u
2 rdr
p
R2

umax
定义： T
ε为运动涡粘系数
普朗特混合长度理论(1952)
基本思想：湍流中流体微团的不规则运动与气体分子的 热运动相似，因此可借用分子运动论中建立粘性应力与 速度梯度之间关系的方法来研究湍流中雷诺应力与时均 速度之间的关系。
普朗特引入了一个与气体分子自由行程相对应的概念－
－混合长度l，并在此基础上建立了比较直观的湍流模
壁面摩擦速度
u 0
摩擦长度


特征长度： y u 0
粘性底层速度分布：
(u)2
y
u
y u

y
若令：
u u u
y

y y
有：
u y
粘性底层速度 分布是线性的
湍流核心区速度分布
在湍流核心区，雷诺应力远大于粘性应力，若忽略粘性应力有：
对牛顿流体：粘性应力可通过牛顿剪切定理与速度联系起来。
雷诺应力是由流体微团的脉动产生动量横向传递引起的。
雷诺应力因影响因素较多，目前只能通过假设将其与时均速度联系起来。
布辛聂斯克涡粘性假设：
流体作一维稳态湍流流动时，雷诺应力仿牛顿切应力可表示为：
yx
T
T
du dy


du dy
其中：μT为涡粘系数（湍流粘性系数）；
(1
k2)
1 ln k
切应力与速度分布：
C2

p L
R2 4
1
(1
k2)
ln R ln k
rz

p L
R 2

r R


1k2 2ln(1/ k)
R r
u

R2
4
p L
1


r
型。
普朗特混合长度理论(1952)
y
u(y l)
l
y
uu(y l)
l u(y l)
u(y l)
x
混合长度和时均速度分布
在任意时间间隔，从流场中
y+l点或y－l点处有一流体微
团到达y点。假设流体微团到 达y点时仍保持原所在区域的 时均速度，流体微团的到达 使y点处的动量发生突变，结 果使该点处流体产生x方向的 随机脉动u/。
l（普朗特混合长度）－ 流体质点因脉动由某一层移动到另 一层的径向距离。相当于分子运动的平均自由程
普朗特混合长度理论(1952)
流体微团从y+l点移到y点处，时均速度与y点处时均速度差为：
(u)1 u(y l) u(y)y
将 u( y l) 在y点按泰勒级数展开，
略去高阶项代入上式
圆管内的层流流动
r P0 z R
g
β
u
L
pl
p
rz

rz r
dr
u
rz
dr
gβ dz
r p p dz z
u
圆管内的层流流动分析
管内层流流动
输入微元体的动量流量： u2 2 rdr 输出微元体的动量流量： u2 2 rdr
注：对充分发展的 一维层流流动，输 入输出微元体的动
在非稳态湍流流场中，时均 速度u也随时间变化但这种变化
是因为非稳态流场中主体流动本身是随时间变化的，与随机 脉动无关。
时均 速度 u为：
u(x, y, z,t) 1
t t
u(x, y, z,t)dt
t t
u
u
u
u
u
u
u
t 稳态层流流动
t 稳态湍流流动
t 非稳态湍流流动
湍流强度： I u2
通用速度分布：
近壁的粘性底层 0 y 5 u y 线性分布
过渡区
5 y 30 u 5.0 ln y 3.05
湍流核心区
y 30
u 2.5 ln y 5.5 对数分布
9.4 圆管内充分发展的湍流运动
9.4.1 光滑管内的速度分布与阻力
速度分布：
通用速度分布－－壁面律
y
u
u 湍流核心区
过渡区
壁面附近的湍流可 分三个区域： •近壁的粘性底层 •湍流核心区 •过渡区
粘性底层
x
壁面附近的湍流
粘性底层速度分布
壁面上u/ ＝0， v/ ＝0且认为紧靠壁面处v/ 总是小量，雷诺应
力远小于粘性应力。于是有：
(
du dy
)

0
引入两个特征参数： 特征速度：
微元体的选取及受力和圆管相同
切应力分布方程：
yx

p L
r 2

C1 r
kR r0
R
速度分布方程：
u


p L
r2 4

C1
ln r
C2
z
r
圆形管套内的层流流动
边界条件： u 0,u 0
rkR
rR
将边界条件代入方程有：
套管内层流流动
C1


p L
R2 4
du p r C1
dr L 2 r
速度 分布方程：
u p r2
L 4

C1

ln
r

C2
应用条件：圆管与圆形套管； 牛顿流体均适用
管内层流流动
边界条件：
du 0,u 0
dr r0
rR
切应力与速度分布：
将边界条件代入方程有：
rz

p L
Re=ρud/μ=ud/ν
通常：
•Re<2300, 层流； •Re>4000, 湍流； •Re＝2300~4000, 过渡区，与流动环境有关
9.1.2 湍流基本特征
稳态层流： 速度不随时间变化，只随空间位置变化。 湍流： 流体质点在随主流流动过程中还有随机脉动.
在稳态湍流流场中，虽然速度u的瞬时变化无规律可循，但 瞬时速度的时间平均值 u是常量。 u u u
相对湍流强度：
Ir
u2 u
9.2 圆管内充分发展层流流动
管内流动 管内流动包括圆管和圆形套管内的流动。
管内流动简化
不可压缩流体在圆管内作层流流动时，在距管道入口相 对远处，流体的速度分布将不再随流动距离发生变化，这种 流动称为充分发展的层流流动。
充分发展的层流流动： u x 0
管内层流流动
hf

p
g
8 LqV R4g
λ
用平均速度表示：
hf

8 Lum R2 g

64 Dum
L um2 D 2g
阻力系数：
达西－怀斯巴赫公式：
（Darcy-Weisbach)
hf
L um2
D 2g
D 2R
阻力系数： 64
Re
套管内层流流动
圆形套管内的层流流动
(1 k 2 )2
ln(1/
k)

应用条件：对于套管，层流流动的条件是雷诺数
Re um D(1 k) / 2000
9.3 湍流的半经验理论
9.3.1 湍流假说－－普朗特混合长度理论