第十章《重积分》自测题一、单项选择题1．设1D 是正方形域，2D 是1D 的内切圆，3D 是1D 的外接圆，1D 的中心点在(1,1)-，记 221221y x y xD I edxdy ---=⎰⎰，222222y x y xD I edxdy ---=⎰⎰，222233y x y xD I edxdy ---=⎰⎰则123,,I I I 大小顺序为（ ）。

（A ）123I I I ≤≤；(B) 213I I I ≤≤；（C ）321I I I ≤≤；（D ）312I I I ≤≤。

2．D=}21,1),{(22-≥≤+x y x y x 则σd y x D)(22⎰⎰+=( )(A)⎰-121dx dy y x xx)(221122⎰---+ (B)dyxx⎰---2211⎰-+12122)(dx y x(C)⎰-121dxdy y x x )(212122⎰--+ (D)⎰-121dxdy y x )(12122⎰-+3．改变12221112(,)(,)yydy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰⎰的积分次序，则下列结果正确的是（ ）（A ）⎰⎰211),(x xdy y x f dx （B ）⎰⎰211),(x xdy y x f dx （C ）⎰⎰311),(x xdy y x f dx （D ）⎰⎰1311),(x xdy y x f dx4．已知D 是正方形域：11,02x y -≤≤≤≤，则2DI y x dxdy =-⎰⎰的值为（ ）（A ）23； （B ）43； （C ）2115； （D ）46155．设D ：2222,,(0)x y ax x y ay a +≤+≤>，则(,)Df x y dxdy ⎰⎰可化为（ ）。

（A ）cos 20sin (cos ,sin )a a d f r r rdr πθθθθθ⎰⎰； （B ）sin 402(cos ,sin )a ad f r r rdr πθθθθ⎰⎰；（C ）sin 400(cos ,sin )a d f r r rdr πθθθθ⎰⎰＋sin 2cos 4(cos ,sin )a a d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰；（D ）sin 40(cos ,sin )a d f r r rdrπθθθθ⎰⎰＋cos 24(cos ,sin )a d f r r rdrπθπθθθ⎰⎰6．Ω由不等式22yx z +≥，222(1)1x y z ++-≤确定，则⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(=（ ）（A ）⎰⎰⎰≤+20122),,(y x dxdy z y x f dz（B ）⎰⎰⎰≤+20222),,(zy x dxdy z y x f dx（C ）⎰⎰⎰-≤+22222),,(zz y x dxdy z y x f dx（D ）⎰⎰⎰-≤+212222zz y x fdxdy dz+2221x y zdzfdxdy +≤⎰⎰⎰7．Ω为球体：1222≤++z y x ，则⎰⎰⎰Ω++dv z y x 222=（ ）（A ）⎰⎰⎰Ωdxdydz （B ）ρϕρϕθππd d d sin 2013⎰⎰⎰（C ）ρθρϕθππd d d sin 2013⎰⎰⎰ （D ）ρϕρϕθππd d d sin 202013⎰⎰⎰8．设Ω由22,1z x y z =+=围成，计算22()x y z dv Ω++⎰⎰⎰正确的是（ ）（A ）因为22z x y =+，故原式＝22112()223x y zz z dv zdzdxdy z zdz ππΩ+≤+===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；（B ）原式＝22221122110()2xx y xdx dy x y z dz π-+---++=⎰⎰⎰；（C ）原式＝22112()2rd dr r z rdz ππθ+=⎰⎰⎰；（D ）因为22z x y=+，故原式＝2222()xy x y dv Ω+++=⎰⎰⎰2211323rd dr r dz ππθ=⎰⎰⎰9．设Ω是由2222x y z a ++≤与222x y b +≤，（0b a <<），0z ≥围成的闭区域，则zdvΩ⎰⎰⎰＝（ ）。

（A ）23200sin cos ad d d ππθϕϕϕρρ⎰⎰⎰； （B ）22200b a r d dr zdz πθ-⎰⎰⎰；（C ）2222222bb xa x y bb xdx dy zdz ------⎰⎰⎰； （D ）232sin 000sin cos b d d d ππϕθϕϕϕρρ⎰⎰⎰。

10．设Ω是球体2221x y z ++≤，则222222ln(1)1z x y z dxdydz x y z Ω++++++⎰⎰⎰＝（ ）。

（A ）1； (B)－1； (C)2； （D ）0。

11．设球体Ω：2224x y z z ++≤内任一点处的密度与该点到坐标原点的距离成正比，则球体重心坐标为（ ）。

（A ）1(0,0,)2； (B)16(0,0,)7； (C) 8(0,0,)3； （D ）3(0,0,)4二、填空题1. 由二重积分的几何意义得到⎰⎰≤+1432222y x d σ= 。

2. 利用二重积分的几何意义得到⎰⎰≤+--222222ay x d y x a σ= 。

3. 设f (x ,y )在122≤+y x 上连续，则22221(,)limR x y Rf x y d Rσ→+≤=⎰⎰。

4. 设D=dxdy ey x x y x Dy⎰⎰-≤≤≤≤2},2,20),{(= 。

5. 已知D 是长方形域：,01a x b y ≤≤≤≤，且()1Dyf x d σ=⎰⎰，则()baf x dx =⎰6. 设D 为：322≤+y x ，则⎰⎰-+Ddxdy y x 222 。

7. 把dxdy xy y x f I xy x ⎰⎰≤++=22222)arctan,(化为极坐标系下的二次积分 。

8. 设Ω由z 2=22y x +与柱面22y x +=1围成的在第一卦限内的闭区域，把I=⎰⎰⎰Ωdvz y x f ),,(化为直角坐标系下的三次积分为 。

9. 设Ω是由平面曲线⎪⎩⎪⎨⎧==022y x z 绕z 轴旋转形成的曲面与二平面z=1和z=2所围成的立体，则22()x y dv Ω+=⎰⎰⎰ 。

10. 设Ω是由曲面222(0)z a x ya =-->与xoy 平面所围成的立体，则33(3)x y dv Ω++=⎰⎰⎰ 。

三、计算题：23121(),()x yxx f x dx f x e dy =⎰⎰、计算积分其中。

22221102,:2,2;2;D xyxxdxdy D x y x y x dx e dy +≥+≤⎰⎰⎰⎰、计算二重积分：（1）（）223,:1,0,0;Dx y dxdy D x y x y -+≤≥≥⎰⎰（）其中 22(4),:;Dx dxdy D x y x +≤⎰⎰2125yx dx edy -⎰⎰（）；322222,:1,1z dxdydz x y z z x y ΩΩ++≤+≥+⎰⎰⎰3、计算三重积分：（1）。

2222,20,(0),0z x y dxdydz y x x z z a a y Ω+Ω=-==>=⎰⎰⎰（）其中由柱面及平面所围成的区域。

222222223,:1,21;z dv x y z z x y x yΩΩ++≤≥+-+⎰⎰⎰（）其中2222(4)(),0,2,(1)1xy dxdydz yoz z z y z Ω+Ω==--=⎰⎰⎰其中域是由在平面内所围成平面域绕z 轴旋转而成的空间区域。

2222(5),43zdxdydz z x y x y z ΩΩ=--+=⎰⎰⎰其中：与所围成立体。

四、应用题与证明题：222214z x y z x y =++=+、证明：曲面上任一点处的切平面与曲面所 围成立体体积为定值。

2222226z x y x y z =+++=、求抛物面与球面所围立体的体积及表面积；1103(,)(,)(,),(,)(1,1)x xf x y f x y f y x dx f x y dy dx f x y dy ==--⎰⎰⎰⎰、设为连续函数，且求证：； 04()[0,]()(),{(,)|0,0,}a Df x a f x y dxdy xf x dx D x y x y x y a +==≥≥+≤⎰⎰⎰、设在上连续，证明其中：；。