第九章 重 积 分第 一 节 作 业一、填空题：.)1(,)1,0(),0,1(),0,0(.4.),,(,.3.,4.2.1),,(),(),,(.122222212121⎰⎰⎰⎰=--=≤+=+<==DDd y x D y x D xoy de y x D y x g g g g y x g z y x g z σρρσ可知由二重积分的几何意义为顶点的三角形区域是以设为质量可用二重积分表示则此薄板的其面密度为连续函数面内占有有界闭区域设一薄板在的值等于则是设区域重积分可表示为所围成立体的体积用二与柱面且适合在全平面上连续曲面二、选择题（单选）：{}{}:,20,10:),(,)(,22,11:),(,)(132221322121则其中其中设≤≤≤≤=+=≤≤-≤≤-=+=⎰⎰⎰⎰y x y x D d y x I y x y x D d y x I D D σσ（A ）I 1=2I 2； （B ）I 1〈I 2； （C ）I 1=I 2； （D ）I 1=4I 2。

答：（ ） 三、估计下列积分的值：⎰⎰≤+++=Dy x D d y x I .4:,)94(2222为闭区域其中σ第 二 节 作 业一、填空题：1. 设⎰⎰=≤≤-≤≤Dyd x y x D ..11,10:2σ则⎰⎰⎰⎰-+-+=≤+ay ay Dy xdx y x f dy d e y x D 202022)(22222)(.3.,1:.2分是为极坐标系下的二次积化则设σ二、选择题（单选）：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+----=110221102210102210102210102222.3)(;3)(;3)(;3)(:,3.1x x yxydy y x dx D dy y x dx C dy y x dx B dy y x dx A I dx y x dy I 等于则交换积分次序后设答：（ ）).(2)();()();(2)();()(:),0(,.22222222222a b a b a b a b Dy x e e D e e C e e B e e A I b a b y x a D d eI ----<<≤+≤=⎰⎰+ππππσ等于是则为其中设答：（ ） 三、试解下列各题：⎰⎰⎰⎰-≥-≤>==+==+DDdxdy y x f x y x y D y x f a a y a y a x y x y D dxdy y x .),(,1,1:),(.2.)0(3,,,,)(.12222化为二次积分试将上连续在设平行四边形区域所围成的由直线其中求)0.(.5.1,11.4.),(),(.3222222221)3(21312>=+==+++--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰-h h z y x z y x D dxdy yx y x dy y x f dx dy y x f dx I Dx x 所围成的立体的体积与计算曲面区域所围成的在第一象限的是由圆求的积分次序改变二次积分四、若f(x)在[a,b]上连续且恒为正，证明：.)()(1)(2⎰⎰-≥babaa b dx x f dx x f第 三 节 作 业一、填空题：1. 半圆薄片x 2+y 2≤R 2, y ≥0, 面密度为1，它关于y 轴的转动惯量I= 。

2. 设f(t)为连续函数，则由平面z=0,柱面x 2+y 2=1和曲面z=[f(xy)]2所围成立体的体积 V= 。

二、选择题（单选）：1. 两个半径为R 的直交圆柱面所围成的立体的表面积为：.16)(;4)(;8)(;4)(0222200022222222222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------R x R R x R x R Rx R Rx R dy xR Rdx D dy xR Rdx C dy x R Rdx B dy xR R dx A答：（ ） 2. 球面 x 2+y 2+z 2=a 2含在x 2+y 2=ax 内部的面积为：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----Ra a a a rdr ra a d D rdr ra a d C rdr r a a d B rdr r a a d A 022cos 022cos 02220cos 02220cos 022.4)(;4)(;8)(;4)(ππθθπθπθθθθθ答：（ ） 三、试解下列各题：1. 求曲面z 2=x 2+y 2包含在圆柱面x 2+y 2=2x 内的那部分面积。

2. 已知面密度为常量ρ的均匀矩形板的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量。

2. 设有一等腰直角三形形薄片，腰长为a ，各点处面密度等于该点到直角顶点的距离的平方，求薄片的重心。

第 四 节 作 业一、填空题：.]3)([,1,10:.4.1132,10,1:.3.1)1cos(,1:.2.3,0,:.13222444444222222222222222222=+≤+≤≤Ω<+++<≤++≤≤++Ω=++++++≤++Ω=≤≤≤+Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩdv y x tg e y x z dy zy x z y x z y x dv z y x z y x z c z b y a x dv h z a y x x 则设则有不等式由于设则若则若π二、选择题（单选）：;)(;)(;)(;)(:,12,0,0,0.110210210111102102101010210⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--------Ω==++===Ωy yx xyx yx xdz dy dx D xdz dy dx C xdz dy dx B xdz dy dx A xdv I z y x z y x 为则所围成由设 答：（ ）.)(;21)(;21)(;21)(:,.22424242121e D e C e e B e e A I dy ye dx I xxy -+-=⎰⎰是则设答：（ ）三、试解下列各题：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---+ΩΩ=++===Ω+++====Ω1101232..3.1,0,0,0,)1(.2.01,,.122222x y x y x dz z dy dx z y x z y x z y x dxdydzz x x y xy z dxdydz z xy 计算所围成的四面体为平面其中计算所围成的闭区域和与平面是由曲面其中计算第 五 节 作 业一、填空题： 1. 将积分⎰⎰⎰->+=220222)0(x x aa dz y x z dy dx I 化为柱面坐标系下的三次积分是。

.,)(,4,1,.2222222=++===+=Ω⎰⎰⎰ΩI dv z y x f I z z y x z 则坐标系下化为三次积分在球面将三重积分所围成由设二、选择题（单选）：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------+ΩΩ=+≤≤++Ω=≥≤++Ωππππππππππππθθθθϕϕϕθϕϕϕθϕϕθϕϕϕθ201112011201011120111222222020132013201220212222.)(;)(;)(;)(,,2.2;cos sin )(;cos sin )(;sin )(;cos sin )(:,0,1.1222222r r rrr r rdz rdr d D dz rdr d C dz rdr d B dz rdr d A dv y x z z z y x dr r d d D dr r d d C dr r d d B dr r d d A zdv I z z y x 则为设为则为若答：（ ）.4)(;4)(;4)(;4)(:0,0,0,:,0,:.3121212122222222221⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩΩΩ====≥≥≥≤++Ω≥≤++Ωxyzdv xyzdv D zdv zdv C ydv ydv B xdv xdv A z y x R z y x z R z y x 则设空间区域答：（ ） 三、试解下列各题： 1. 计算⎰⎰⎰Ω==+Ω+.22,)(2222所围成的闭区域及平面是由曲面其中z z y x dv y x.)3(;)2(;)1(.0,||,||)(.4.2,.3.0,0,0,11,.2222222222222轴的转动惯量求物体关于求物体的重心求其体积所围成和平面占有的闭区域是由曲面为常量密度一均匀物体之公共部分和为其中计算卦限内的闭区域所围成在第一及平面为柱面其中计算z z a y a x y x z Rz z y x R z y x dv z y x z z y x xydv ===+=≤++≤++Ω=====+Ω⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩρ.)(lim ,0)0(,1)0(',)(),0()()(.5502222222tt F f f u f t dv z y x f t F t t x y x +→≤++==>++=⎰⎰⎰求且为连续函数设第 九 章 综 合 作 业一、填空题（每小题4分，共20分）：{}.,1)2()1(.5.,),,(,2,1,2.4.sin .3.,0,1|),(.2.,),(,),(.12222210221202⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ-=≤+-+-Ω=====+Ω==≥≤+===dv z y y x I dxdydz z y x f I z z z y x dy xxdy ydxdy y y x y x D I dy y x f dx I y x f yyDx x 则为设则下的三次积分化为柱面坐标系将所围成由设则设则改变积分次序将是连续函数设二、选择题（单选）（每小题4分，共20分）：.)(;)(;)(;)(:,,,)sin(,)(,)ln(,1,21,0,0.1312231123321321321I I I D I I I C I I I B I I I A I I I dxdy Y x I dxdy y x I dxdy y x I y x y x y x D DDD<<<<<<<<+=+=+==+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰间的大小关系为则所围成由设答：（ ）.),(),()(;),()(;),(),()(;),()(),(,),(.20182212121228262182212121228212262142⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+-++------+++---+---++=yy y y yyy y y yy x x dx y x f dy dx y x f dy D dx y x f dy C dx y x f dy dx y x f dy B dx y x f dy A dy y x f dx y x f 则二次积分是连续函数设 答（ ） 3. 半径为R 和r(0<r<R)的两上圆所围成的均匀的圆环状薄片（设密度为ρ）对它的中心的转动惯量I 0=).(81)();(41)();(21)();()(44444444r R D r R C r R B r R A ----πρπρπρπρ答：（ ）.721)(;641)(;561)(;481)(,0,0,0,1.4222D C B A xyzdxdydz z y x z y x =====++Ω⎰⎰⎰Ω则限的部分所围空间区域在第一卦是由设答：（ ） 三、计算⎰⎰-1122xy dy e x dx （10分）。