F ( x ) f ( x ) 或 dF ( x ) f ( x )dx
(arcsin x )
2
则称F(x)是f(x)在区间(a,b)内的一个原函数.
例1. 在（-1，1）内 所以 arcsin x 是
1
1 x2
1/ 1 x
在（-1，1）内的一个原函数
例2. 在 ( , ) 上
.
二. 直接积分法 将被积函数化为几个函数的代数和，然后分项积分.
1 解：原积分 ( t 3 )dt t 例1. 求 ( 2 x) xdx 1 2 3/ 2 t dt 3dt dt )dx 解：原积分= ( 2 x x t 3 3/ 2 t 2 xdx x dx 3t ln t C 1 3 / 2 3 x 2 x C x 3x 2 1 3/ 2 练习： dx x 1 2 5/ 2 x2 x C ( x 1)( x 2) 5 dx x 1 t 3 3t 1 例2. 求 dt xdx 2 dx x 2 / 2 2 x C t
G f ( x ) G F 由拉格朗日定理的推论可知 F f ( x) G ( x ) F ( x ) C 由G(x) 的任意性可知，原命题成立.
即
2. 不定积分的定义：如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，那么 f(x) 的所有原函数F(x)+C 称为 f(x) 的不定积分，记为 f ( x )dx
(cos x ) sin x 所以 cosx 是 –sinx 在( , )上的一个原函数. ( x 2 ) ( x 2 1) ( x 2 1) ... 2 x 例3. 因为
所以函数 2x 有无穷多个原函数，那么这无穷多个原函数有何 关系呢？请看如下定理： 定理：如果 F(x) 是 f(x) 的一个原函数，那么 f(x) 的所有原函 数都可表示为：F(x)+C 的形式. （C 为任意常数） 证明：设 G(x) 为 f(x) 的任意一个原函数，则由
(7) sec xdx tan x C ;
2
(8) csc xdx cot x C ;
2
( 9)
dx
2
1 x dx (10) arctan x C 2 1 x
arcsin x C ;
(11) sec x tan xdx sec x C
(12 ) csc x cot xdx csc x C
1 1 f (ax b)dx f (ax b)d (ax b) F (ax b) C a a
例4. 求下列不定积分
x sin( 1 x 2 )dx , x x 2 1dx 1 x 2 1d ( x 2 1) 2 2 解： x sin( 1 x )dx 1 2 ( x 1)3 / 2 C 1 3 sin(1 x 2 )d (1 x 2 ) xdx 1 d (1 x 2 ) 12 cos(1 x 2 ) C 2 1 x 2 1 x2 2 1 1 2 xdx d (ax b) ln(1 x 2 ) C 2a 2
( k1 f1 ( x ) k 2 f 2 ( x ) ... k n f n ( x ))dx k1 f1 ( x )dx k 2 f 2 ( x )dx ... k n f n ( x )dx
5.2 基本积分公式 一. 几个基本积分公式

(1) kdx kx C (k是常数） x ( 2) x dx C ( 1) 1dx
2x
x
例1. 下列各式是否正确？为什么？
sin x C sin xdx 3 e tan x dx e tan x C
2
3
以上错误的式子，如何改正 可变成正确的？对于积分公 式的形式不变性，你理解了 吗？最容易出现的错误是什 么？
5.3 换元积分法
一. 第一换元积分法(凑微分） 解： cos dx 2 cos d ( ) 若 f ( u)du F ( u) C
( 2)
ln u C
对否？
若分子能凑分母的微分必用上述公式.
(3) du
x
1 u
2
arctan u C
dx de arctan 2 x C 2 ____ 1 4x 1 e d ln x d( ) arcsin(ln x ) C 2 arctan x C 1 ln x 1 x sec 2 xd x tan x C dx arctan x C ? 1 1 x ln xdx C
性质2. 两个函数代数和的不f ( x ) g( x )]dx f ( x )dx g( x )dx
性质3. 非零常数因子k可以提到积分号前面来，即
(k为非零常数).
kf ( x )dx k f ( x )dx
性质2与性质3合在一起可以推广为：
2
即曲线方程为yx2C. 因所求曲线通过点(1, 2), 故 21C, C1.
于是所求曲线方程为yx21.
例7. 求过点 (1,1/3),切线
斜率为 2x 的曲线 解： 2 xdx
2) F ( x )dx F ( x ) C
dF ( x ) F ( x ) C
f ( x )dx F ( x ) C
f ( x )dx
其中

f ( x) x
积分号 被积函数
1 1 [ln( x )] ( 1) x x
故
积分变量
1 dx ln x C x
二. 不定积分的几何意义 f ( x )dx 被积表达式 f ( x ) 3 x 2 的不定积分设 F(x) 是f(x) 的一个原函数，则 例4. 求 3 2 Y=F(x) 是平面上的一条曲线，称 解：因为 ( x ) 3 x 2 3 为 f(x) 的一条积分曲线，而f(x) 所以 3 x dx x C 1 的不定积分 F(x)+C 表示全体 例5. 求 dx x 原函数，其几何意义为 f(x) 的积 1 解：当 x > 0 时， x ) (ln 分曲线簇.如果我们只求其中的一 x 当 x < 0 时， 条曲线，则需确定常数 C的值.
第五章 不定积分
5.1 不定积分的概念与性质
一. 原函数与不定积分
y x 2 我们可以求出其导数 y 2 x ，那么 2x 给出函数： x 2 如何称呼他呢？这就是我们今天要学习的第一个问题 见到
1. 原函数的定义
定义5.1设f(x)是定义在区间(a,b)内的已知函数,如果存在函数 F(x),使得对于区间(a,b)内的一切x，恒有
x 2 C 由此可见, 微分运算（以记号d表 示）与求不定积分的运算（简称 2 y 积分曲线簇为： x C 积分运算, 以记号 表示）是互逆 因为曲线过点 (1,1/3)，所以的. 当记号 与d 连在一起时, 或者
C=-2/3 ，故所求曲线为： 抵消, 或者抵消后差一个常数.
例6 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍, 求此曲线的方程. 解： 设所求的曲线方程为yf(x), 按题设, 曲线上任一 点(x, y)处的切线斜率为yf (x)2x, 即f(x)是2x 的一个原函数. 因为
2 xdx x C 故必有某个常数C使f(x)x2C,
f [ ( x )] ( x )dx f [ ( x )]d ( x )
则
x x 2 2 x 2 sin C 2 (5 x 1) 2 dx 例3. 求
(5 x 1)2 dx 解：
x 2
F [ ( x )] C
例1. 求
e 2 x dx
1 2
解： e 2 x dx
y x2 2 / 3
三. 不定积分的性质
性质1：
例8. 若 求
f ( x )dx sin x C
f ( x)
f(x) = cosx
1) f ( x )dx f ( x ) d f ( x )dx f ( x )dx

解:将已给等式两边对 x 求导得
于是
f ( x ) cos x
2
2 2
例5. 求 tan
2
xdx
积分公式的形式不变性
在公式 f (u)du F (u) C 中无论u是自变量，还是中间变 du 量，上述公式都成立.
u （1）u du C ( 1) 1 1 2 ( 2 x 1) d ( 2 x 1) ( 2 x 1)3 C 3 d (2 x ) 1 C 2 (2 x ) 2 x
4 2
3. 利用三角公式分项
dx 练习： 解：原积分= (sec x 1)dx sin x cos x sec2 xdx dx (sin2 x cos2 x )dx tan x x C sin2 x cos2 x 2 x 例6. 求 cos 2 dx dx dx 2 1 cos x 2 cos x sin x 解：原积分= dx 2 tan x cot x C 1 1 dx cos xdx 2 2 1 ( x sin x ) C 2
2x
e2 xd 2 x
1 e C 2 x 例2. 求 cos dx
2
1 (5 x 1)2 d (5 x 1) 5 1 (5 x 1)3 C 15 以上三例中，新的积分变量是 如何得到的？ 也就是说第一步 凑谁的微分？是否知晓？
以上各例被积函数为一个复合函数，且中间变量是一次函数， 只需凑中间变量的微分即可，即新的积分变量是中间变量.其 一般形式如下： 若 f ( u)du F ( u) C 则