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【例5-4】
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多项式相关函数： 多项式相关函数： polyval(P,x)：按多项式的系数计算x点多项式的值 polyder(P): 求多项式P的导函数
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5.2
数值微分
数值方法的基本思想： 对于已知的原型函数，可通过diff( )函数 对于已知的原型函数，可通过diff( )函数 求取各阶导数解析解，如果函数表达式未 知，只有实验数据，在实际应用中经常也 有求导的要求，这样的问题就不能用前面 的方法获得问题的解析解。 要求解这样的问题，需要引入数值算法得 出所需问题的解 在MATLAB中没有现成的数值微分函数。 MATLAB中没有现成的数值微分函数。
第 五 章 数值微积分 的MATLAB求解
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主要内容
插值与数据拟合 数值微积分
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5.1 插值与数据拟合
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在实际问题中常遇到这样的函数
，其在
某个区间[a b]上是存在的。但是， 某个区间[a，b]上是存在的。但是，通过观察或 [a， 上是存在的 测量只能得到在[a b]区间上有限个离散点 测量只能得到在[a，b]区间上有限个离散点 [a， 上的函数值 ，而不知道 该函数的解析式。或者函数的表达式是已知的， 该函数的解析式。或者函数的表达式是已知的， 但却很复杂不便于计算，希望用一个简单的函数 但却很复杂不便于计算， 来描述它。 来描述它。 由这些已知样本点的信息获得该函数在其他点上 函数值的方法称为函数的插值
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5.1.2数据拟合
曲线拟合的目的就是用一个较简单的函数去逼近 一个复杂的或未知的函数，所依据的条件都是在 一个复杂的或未知的函数， 一个区间(或一个区域) 一个区间(或一个区域)上的有限个采样点的函数 值。 曲线拟合放弃在插值点两者完全相等的要求，而 曲线拟合放弃在插值点两者完全相等的要求， 要求从整体上两者之间的误差尽量小些。 要求从整体上两者之间的误差尽量小些。
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数值积分
对于积分： 如果知道f 如果知道f（x）的原函数F（x），则 ）的原函数F
但是在工程技术和科学研究中经常会见到以下现象： （1） （2） （3） 的解析解根本不存在，只给出了的一些数值 的原函数F 的原函数F求不出来。 的表达式结构复杂，求原函数较困难
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假设在实验中测得一组数 据 且
，
为严格单调递增的数值，直接求取这些点对应曲 为严格单调递增的数值，
线的数值积分的最直观的方法就是用梯形方法。 线的数值积分的最直观的方法就是用梯形方法。
sum((2*y(1:end-1),:)+diff(y)).*diff(x))/2 s=trapz(x,y)
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数值差分与差商
函数f(x)在 点的导数的定义： 函数f(x)在x点的导数的定义：
引入前向差分算子： 引入前向差分算子：
当步长h充分小时： 当步长 充分小时： 充分小时
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数值微分的实现
方法一： f(x)在点 处的某种差商作为其导数。 在点x 方法一：用f(x)在点x处的某种差商作为其导数。 方法二：用多项式或样条函数g(x)对f(x)进行 方法二：用多项式或样条函数g(x)对f(x)进行 逼近（插值或拟合），然后用逼近函数在x点处 逼近（插值或拟合），然后用逼近函数在 ），然后用逼近函数在x 的导数作为f(x)在点 处的导数。 的导数作为f(x)在点x处的导数。 在点x
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5.1.1 数据的插值问题 一、一维插值问题的求解
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【例5-1】已知的数据点来自函数 已知的数据点来自函数
根据生成的数据进行插值处理， 根据生成的数据进行插值处理，得出较平滑的曲线 直接生成数据。 直接生成数据。
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【例5-5】作图并观察：对函数 作图并观察：
分别取 h=0.5,h=0.05,h=0.01,h=0.005,画出 h=0.5,h=0.05,h=0.01,h=0.005,画出 和 形。
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的图
方法二
【例5-6】用不同的方法求函数 数 的数值导
，并在同一个坐标系中做出的图像。 并在同一个坐标系中做出的图像。
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【例7-6】试用梯形法求出 内，函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积 函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积 分的值。 分的值。
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例5.2.给出概率积分：
的数据表如下表所示，用不同的插值方法计算f(0.472)
x f(x)
0.46
0.47
0.48
0.49
0.48465555 0.4937542 0.5027498 0.5116683
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二、二维网格数据的插值问题
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【例5-3】

以上这些现象Newton-Leibniz公式不再适用 以上这些现象Newton-Leibniz公式不再适用，只能建 公式不再适用， 立积分的近似计算。 立积分的近似计算。 求解定积分的数值方法：梯形法、simpson法 求解定积分的数值方法：梯形法、simpson法， romberg法 romberg法，它们的基本思想都是将整个积分问题分解 为求和形式，最简单的求每一子空间的积分方法是采用梯 为求和形式， 形近似的方法。 形近似的方法。
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方法一
在MATLAB中没有直接提供求数值导数的函数， MATLAB中没有直接提供求数值导数的函数， 只有计算前向差分的函数： DX=diff(X) ：计算向量X的前向差分 ：计算向量X DX(i)=X(i+1)DX(i)=X(i+1)-X(i) DX=diff(X,n) ：计算向量X的n阶前向差分 ：计算向量X diff(X,2)=diff(diff(X))