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线性代数矩阵的秩精品PPT课件
0
0
0
0
0
1 2 3 1 0
A
0 0
2 0
1
1
1
0 3 0
0
0
0
0
0
取A的1、2、3行和A的1、2、4列得到A的一个3阶子式为
1 2 1
0 2 1 6
0 0 3
取A的1、2、3、4行和A的1、2、3、4列得到A的一个4阶
子式为
1 2 3 1 0 2 1 1
0 0 0 0 3 0000
注 对一个 m n 矩阵显然有
k minm, n
一共有C
k m
C
k n
个k阶子式
定义2:矩阵A的不等于零的子式的最高阶数称为A的秩,
记作秩为R(A),并规定零矩阵的秩是零。
1 2 3 1 0
例
A
0
2
1
1
1
0 0 0 3 0
0
0
0
0
0
矩阵A的所有4阶子式全为0(为什么?)有一个3阶
Dr 或 Dˆr , 故 r R(B)
以上证明了若 A 经一次初等行变换变为 B , 则 R(A) R(B). 由于 B 亦可经一次初等行变换变为A 故也有 R(B) R(A). 因此 R(A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变, 即可知经有限次初等 行变换矩阵的秩仍不变. 对列变换同理可证明.故矩阵经初 等变换后其秩不变 推论1 一个矩阵的阶梯形中非零行的个数就是原矩阵的秩。
1
1
r4
r2
0
0 1
0
3
4
0
2 0 0
1
1
0 1
2
3
1 2 0 0
r4
r3
0
2
1
1
故
0 0 2 3
0
0
0
1
R( A) 4
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
11
谢谢大家
荣幸这一路,与你同行
1 2 0 0
例1 求矩阵A的秩,已知
A
1 2
0 4
1 0
1
1
1
0
3
4
解: 首先考查A的最高阶子式(这里为4阶且只有一个)即
A 4 0
故
R( A) 4
定理1 n阶方阵A可逆的充分必要条件是秩
R(A)=n 注 (1)n阶方阵A秩为n A 0
(2)n阶方阵A不可逆 R(A) n
(3)n阶方阵A不可逆 A 0
当n阶方阵A的秩为n时,也称A为满秩矩阵, 否则称A为降秩矩阵。
例2 试证对任意矩阵A,总有
R( A) R( ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱT )
例 3 设A,B都是 m n 型矩阵,令
Cm2n ( A B)
证明不等式 max(R( A), R(B)) R(C) R( A) R(B)
则在 B 中总能找到与 Dr 相对应的r 阶子式 Dr
满足 Dr Dr 或 Dr Dr ,
或 Dr kDr ,
从而 r R(B)
因此 D r 0 ,
(2) 当 A ri krj B 时,
由于对换 ri rj 时结论成立, 故只需考虑A r1kr2 B
这一特殊情况.
(Ⅰ)Dr 不含第A第1行,
这时 Dr 也是B 的r阶非零子式, 故 r R(B)
(Ⅱ)Dr 含第A第1行,
r1 kr2 r1
r2
Dr rp rp k rp Dr kDˆ r ,
rq
若 p 2 则 Dr Dr 0
rq
rq
若 p 2 Dˆr 也是B的r阶子式, 由 Dr kDˆr Dr 0
知 Dr 与 Dˆr 不同时为0. 总之B 中存在的r阶非零子式
子式不为0,故 R(A)=3
注:(1)事实上矩阵A是阶梯形矩阵,它的秩等于其非零 行的个数。这对一般的阶梯形矩阵也成立。
(2) m n 矩阵秩显然有
0 R(A) minm, n
即一个矩阵的秩肯定小于等于矩阵行数和列数的最小者
(3)R( A) r A中所有r+1阶子式全为零 R( A) r A中所有大于r阶子式全为零 R( A) r A中有一个r阶子式不为零
二:利用初等变换求矩阵的秩
定理2 矩阵经初等变换后其秩不变 即 A ~ B, 则 R(A) = R(B).
证明: 先证明: 若 A 经一次初等行变换变为B ,有
R(A) R(B). 设 R(A) = r, 则 A 有某个 r 阶子式记为 Dr 且 Dr 0
(1) 当 A ri rj B 或 A kri B 时,
为了计算矩阵A的秩,只要用初等行变换把A变成阶梯 形即可。
1 2 0 0
例3
求矩阵A的秩,已知
A
1
2
0 4
1 0
1
1
1
0
3
4
解: 法二
1 2 0 0 r2 r1 1 2 0 0
1 2 0 0
A
1
2
1
0 4 0
1 0 3
1
1
4
r2 2r1
0
r3 r1
0
0
2 0 2
第六节 矩阵的秩
一:矩阵秩的概念
定义1 在一个 m n矩阵A中,k个行和k个列,
位于这些行及列的交叉处的元素按原来的位置组成一个
k阶行列式,称其为矩阵A的一个k阶子式。
1 2 3 1 0
例:
矩阵
A
0 0
2 0
1 0
1
1
3 0
0
0
0
0
0
1 2 3 1 0
A
0
2
1
1
1
0 0 0 3 0
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师:XXXXXX XX年XX月XX日