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例2： 计算四阶行列式
a0 0 b 0cd 0 D 0e f 0 g0 0 h
D = acfh + bdeg – adeh– bcfg
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重要结论：
(1) 上三角形行列式
a11 a12 a1n
0 D
a22
a2n
a a11 22 ann
0 0 ann
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第一章 行列式
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§1 二阶与三阶行列式
1. 二阶行列式 二元线性方程组
aa2111
x1 x1Leabharlann a12 x2 a22 x2
b1 b2
(1) (2)
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用消元法 (1) a22 (2) a12 得
(a11a2a2 21xa112aa2122)xx12
b1a22 b2
为三阶行列式, 记作
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
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对角线法则：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
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(2) 下三角形行列式
a11 0 0
D
a21
a22
0
a a11 22 ann
an1 an2 ann
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(3) 对角行列式
a 11
D
a22
a a11 22 ann
ann
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(4) 副对角行列式
a1n
D
a2,n1
n( n1)
(1)
2
a a a 1n 2,n1
n1
a n1
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行列式的等价定义
a a a
11
12
1n
a21 a22 a2n
(1)t a1 j1 a2 j2 anjn
a a a
n1
n2
nn
(1)t a a i11 i2 2 ainn
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§5 行列式的性质
a11 a12 a1n
a11 a21 an1
a12b2
当 a11a22 a12a21 0 时，方程组有唯一解
x1
b1a22 a11a22
a12b2 a12a21
,
x2
a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
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记
a11 a 21
a12 a 22
a11a22 a12a21
则有
b1a22
a12b2
b1 b2
D1 D
14 7
2,
x2
D2 D
21 7
3
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2. 三阶行列式
类似地，讨论三元线性方程组
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
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称 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a a 23 32
也称为方程组的系数行列式。
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对角线法则:
主对角线
副对角线
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a11a22 a12a21
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例. 解方程组
3 x1 2 2 x1
x2 x2
12 1
解： D 3
2 3 (4) 7 0
21
12 2
3 12
D1 1
14 1
D2 2
21 1
x1
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例： 2 0 1 1 4 1
1 8 3
2 (4) 3 0 (1) (1) 11 8 1 (4) (1) 01 3 2 (1) 8
24 8 4 16 4
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§2 全排列与逆序数
定义1：把 n 个不同的元素排成的一列, 称为这 n 个元素的一个全排列, 简称排列。
设
D
a21
a22
a2n
则
DT
a12
a12 a22
,
a11b2
b1a21
a11 a21
b1 . b2
于是
x1
1 D
b1 b2
a12 a22
,
x2
1 D
a11 a21
b1 b2
其中 D a11 a12 a21 a22
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称
a11a 22
a12
a
为
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二阶行列式，记作
(1,2) 元素 a11 a12 a21 a22
行标 列标
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标准次序：标号由小到大的排列。
定义2：在n个 元素的一个排列中，若某两个元素 排列的次序与标准次序不同，就称这两个 数构成一个逆序，一个排列中所有逆序的 总和称为这个排列的逆序数。
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一个排列的逆序数的计算方法：
设 p1 p2 … pn 是 1，2，…，n 的一个排列， 用 ti 表示元素 pi 的逆序数，即排在 pi 前面并比 pi 大的元素有 ti 个，则排列的逆序数为
t = t1 + t2 + … + tn
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例4：求排列 32514 的逆序数。
解： t1 0, t2 1, t3 0, t4 3, t5 1 排列的逆序数 t 5
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逆序数为奇数的排列称为奇排列。 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
例如：123 t = 0 为偶排列， 321 t = 3 为奇排列， 312 t = 2 为偶排列。
(1)t a1 p1 a2 p2 anpn
称为 n 阶行列式 (n≥1)，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n
an1 an2 ann
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例1：写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
a11a a 23 34a42
a11a23a32a44
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§3 n 阶行列式的定义
观察二、三阶行列式，得出下面结论：
1. 每项都是处于不同行不同列的n个元素的乘积。 2. n 阶行列式是 n！项的代数和。 3. 每项的符号都是由该项元素下标排列的奇偶性
所确定。
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定义1： n! 项 (1)t a1 p1 a2 p2 anpn 的和
把 n 个不同的元素排成一列, 共有 Pn个排列。 P3 = 3×2×1 = 6
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例如：1, 2, 3 的全排列 123，231，312，132，213，321 共有3×2×1 = 6种，即 P3 = 3×2×1 = 6
一般地，Pn= n·(n-1)·…·3·2·1= n!
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