步骤3 结合动量定理和伯努力方程
将式（2-9）、（2-13）得到： Froude-Rankin定理
v v 1 (v 2 vw2 ) (v vw ) vd vd w （2-14） 2 2
第二章
步骤4
2.2
贝兹极限
求致动盘上下游的风功率差
（1）致动盘上游：
第二章
步骤2
2.2
贝兹极限
从伯努力方程出发
（1）致动盘上游：
1 1 2 p v gh pd d vd 2 d ghd 2 2
上下游空气密度相等：
（2-10）
d w ，在水平方向有：h hd hw h
（2-11） （2-12） （2-13）

g ：重力加速度
第二章
2.2
贝兹极限
看懂 “图2-1”
风速曲线和截面积曲线
上游的风速V∞接近致动盘时速 度逐渐下降到Vd ，流过致动盘后在 下游远端风速下降到Vw 。 由气流管模型，随着风速下降， 横截面相应膨胀。 压力（压强）曲线 对于理想流体，当无外力对气流做功，气流也不对外做功时，流束上每单位体积流体的 动能、势能和该处的压强之和保持不变，即满足伯努利方程：
vw vw 2 1 3 1 Ad v (1 ) 1 ( ) 2 2 v v P 4a(1 a)2 Cp 1 1 3 3 Ad v Ad v 2 2
要求出最大风能利用系数，则对上式求极值，即 CP对a的导数为零的位置：
空气流过致动盘时存在静压降，风轮因此吸收能量进行旋转。由于压降的存在空气流过盘 后其压力Pd －小于大气压力。空气以减小的速度和压力继续流向下游，最终在尾流足够远 处，气流压力P w要上升恢复到大气压，气流压力上升使风速进一步降低，而截面积则继续
膨胀。
第二章
2.2
贝兹极限
定性分析
步骤1 从动量定理出发
1 1 2 p v pd vd 2 式（2-10）简化得： 2 2 1 1 2 2 p v p v （2）同理，致动盘下游可得： w w d d 2 2 1 2 2 由式（2-11）和（2-12）得到： pd pd (v vw ) 2
无黏性流体，这种假设没有黏度的流体称为理想流体。
第二章
பைடு நூலகம்
2.1
基本概念
4、流动阻力
流动边界的物体对流动流体的作用力，与流体流动的方向相反。流动阻力的反作 用力，就是流体对物体的作用力，称为曳力。 在低于音速的情况，流动阻力分为摩擦阻力和压差阻力。由于流体的黏性作用， 在物体表面产生的全部摩擦力的合力称为摩擦阻力，其方向与流体运动方向相反。压差 阻力则是垂直于物体表面的压力产生的对流体流动的阻力，其方向也与流体运动方向相 反。 两种阻力常同时存在，两种阻力的相对大小取决于：
：流体密度，kg/m3
：运动黏性系数，m2/s
Re数大时表现为湍流；Re数小时表现为层流。在高Re数下，流体运动的惯性 力远远大于黏性力，这时可以忽略黏性力，认为是无黏度的理想流体。把理想流
体的流动区域叫“势流区”，而黏性流体的流动区域叫“黏流区”。
第二章
2.1
基本概念
7、边界层
指流体高雷诺数流过壁面时，在紧贴壁面的粘性力不可忽略的流动薄层。
致动盘吸收的功率等于致动盘前、后气流的风功率之差：
（2-16）
1 1 1 2 2 P P P Ad vd v Ad vd vw Ad vd (v 2 vw2 ) 2 2 2

（2-17）
另一种途径：教材P31，式（2-13），功率=力×速度，因此也得到：
P Fvd Ad vd (v vw )vd Ad vd (v vw )
第二章
2.1
基本概念
3、流体黏性
黏性是流体的重要物理属性，是流体抵抗剪切变形的能力。 流体在流动时，如果相邻两层流体的速度不同，在它们的界面会产生剪切应力，速度快 的流层对速度慢的流层产生拖动力，速度慢的流层对速度快的流层产生阻力。这个剪切 应力叫流体的内摩擦力，或黏性切应力：
du dy
行积分，就得到理想流体的伯努利方程：
v
流体速度
1 2 p v gh const 2
p 单位体积流体的压力
h
g
流体在流动过程中的高度 重力加速度 流体密度
伯努利方程是流体的机械能守恒方程，其物理意义是指流体在忽略粘性力 的流动中，流线上每单位体积流体的动能、势能和该处的压强之和保持不变。 显然 ，流体中速度增大，压力就减小；速度减小， 压力就增大；速度降为 零，压强就达到最大。
（针对水平轴风力机）
风轮的叶片数无穷多，风轮简化为一个平面桨盘，这个桨盘称为致动盘。
A , Ad , Aw
v , vd , vw p , pw
pd , pd
：风轮前上游来流面积、风轮扫掠面积（致 动盘处）、风轮后下游通流面积 ：风轮前上游来流速度、通过风轮的气流速 度、风轮后下游尾流速度 ：风轮前上游远端气流静压、风轮后下游 通远端气流静压，实际都为当地的大气压 ：风轮前（上游来流）气流静压、风轮后 （下游尾流）气流静压 ：气流密度
v vw 1 Ad vd (v 2 vw 2 ) 2 2
第二章
步骤5
2.2
贝兹极限
求风能利用系数
将（2-14）代入（2-17）：
v vw 2 vw vw 2 1 1 2 3 1 P Ad ( )(v vw ) Ad v (1 ) 1 ( ) 2 2 2 v v 2
飞机机翼产生升力，就在于下翼面速度低而压力大，上翼面速度高而压力
小 ，因而合力向上。
第二章
2.2
贝兹极限
（一维动量理论）
第二章
2.2
贝兹极限
风力机气流管模型概念
风经过动能的转移后风速会下
降，但只有那些通过风轮圆盘的空 气才会受到影响。将绕过风轮圆盘 没有受到影响的风分离出去，就可 以画出只包含受到影响的空气团的
在高雷诺数下，边界层很薄，边界层区与主流区之间无明显界线，通常以速 度达到主流区速度的0.99作为边界层的外缘。 边界层中的流动状态分为层流和湍流。边界层刚形成时,厚度很小,一般是层
流；经过一段距离，就可能发展为湍流。
第二章
2.1
基本概念
8、伯努利方程
对于不可压缩理想流体定常流动，对质点的欧拉运动微分方程沿流线进

：黏性切应力，N/m2
du ：法向速度梯度，即与流体流动方向垂直的方 dy 向上的流体速度变化率，1/s

运动黏性系数：
：动力黏性系数，N.s/m2


m2/s
第二章
2.1
基本概念
黏性切应力的产生是由于流体分子间的引力和流体层间分子运动形成的动量交换。
牛顿黏性平板实验
理想流体
如果流体内的速度梯度很小，黏性力相比于其他力可以忽略不计，可以将之看作
东南大学能源与环境学院
风力发电技术
邓艾东
第二章
第二章
风力发电空气动力学基本原理
2.1 基本概念
第二章
2.1
基本概念
1、风能和风功率：
1 3 W Av t 2 P 1 Av 3 2
2、不可压缩流体
在压力作用下，体积变化可以忽略不计的流体称为不可压缩性流体。 气体在压力作用下体积会发生明显变化，是可压缩性流体。但在某些过程，如远低 于音速的空气流动过程中，气体压力和温度的变化可以忽略不计，这时可将空气作为不 可压缩性流体进行研究。
定义 风能利用系数（风能功率因数）：
（2-18）
Cp
P 1 3 Ad v 2
（2-19）
物理意义：分母表示截面积为Ad的自由流束（空气）所具有的全部风功率，分子表示被风
轮吸收的功率， 二者的比值就是实际的风能利用系数。
定义 轴向诱导因子：
a
v vd v
（2-20）
物理意义：表示致动盘处速度的降幅与致动盘前的来流速度的比率。
（2-22）
第二章
dC p da
2.2
贝兹极限
4(1 a)2 2(1 a)4a 4(1 a)(1 3a) 0
有2个解，（1） a=1 ，此时Vw = － V ∞ ，没有物理意义；（2）a=1/3， CP 有最大值：
第二章 致动盘模型
风轮叶片旋转时不受摩擦阻力。 气流是均匀定常流（空气不可压缩、来流速度均匀且不随时间变化），气流的流 动模型简化为一个单元流管，如下图。 风轮上、下游足够远处的气流静压相同，均为无扰动的大气压力。 作用在风轮上的推力（轴向力）均匀分布。 不考虑风轮后的尾流旋转。
第二章
2.1
基本概念
6、雷诺数
层流和湍流转捩的临界流速与管径、流体密度和动力黏性系数有关，这两种
流动形态用“雷诺数” 来判别。雷诺数在物理上的本质上表征了流体运动的 惯性力与黏性力的比值。
Re ：雷诺数
ul ul Re
u：流动速度，m/s
：动力黏性系数，N.s/m2 l ：与流动有关的长度，m
力= 压强×面积： F ( pd pd ) Ad ，因此：
（2-7）
（3）气流所受的作用力等于气流对致动盘的反作用力，即气流作用在致动盘上的轴向推力，
F ( pd pd ) Ad (v vw ) Ad vd
（2-8） （2-9）
同时得到：
pd pd (v vw )vd
第二章
2.2
贝兹极限
将（2-20）代入