：相似三角形判定的基本模型三）母子型四）一线三等角型：三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形 为背景，一个与 形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：1：相似三角形模型一） A 字型、 反 A 字型（斜 A 字型）二） 8 字型、 反 8 字型平行）蝴蝶型）腰三角 CC五）一线三直角型：三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。

六）双垂型：：相似三角形判定的变化模型一线三直角的变形2：相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC，对角线AC、BD 交于点O，BE∥ CD 交CA 延长线于E．2求证：OC2 OA OE ．例2：已知：如图，△ABC 中，点 E 在中线AD 上, DEB ABC ．求证：（1）DB2DE DA；（2）DCE DAC ．例3：已知：如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F．求证：BE2 EF EG ．21、如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，EF 为AD 的垂直平分线．求证：FD 2 FB FC ．2、已知：AD 是Rt△ABC 中∠A的平分线，∠ C=90°，EF是AD 的垂直平分线交AD 于M，EF、BC的延长线交于一点N。

求证：(1) △AME ∽△ NMD; (2)ND 2=NC·NB3、已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于D，E是AC上一点，CF⊥BE于F。

求证：EB·DF=AE· DB4. 在ABC中，AB=AC ，高AD与BE交于H，EF BC ，垂足为F，延长AD到G，使DG=EF ，M是AH 的中点。

求证：GBM 90G5 已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ C=90°，BC=2，AC=4，P是斜边AB 上的一个动点，PD⊥AB，交边AC 于点D（点 D 与点A、C 都不重合），E 是射线DC 上一点，且∠ EPD =∠ A．设A、P 两点的距离为x，△BEP 的面积为y．（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当△BEP与△ABC相似时，求△BEP的面积．B2）双垂型1、如图，在 △ABC 中，∠ A=60°， BD 、 CE 分别是 AC 、AB 上的高 求证：（1）△ABD ∽△ ACE ；（ 2）△ADE ∽△ ABC ；（3）BC=2ED2、如图，已知锐角 △ABC ，AD 、 CE 分别是 BC 、AB 边上的高， △ABC 和△BDE 的面积分别是 27和 3，DE=6 2 ，求：点 B 到直线 AC 的距离。

2、已知：如图，在 Rt △ABC 中， AB=AC ，∠ DAE=45 °．（4） 一线三等角型相似三角形例 1：如图，等边 △ABC 中，边长为 6，D 是 BC 上动点，∠ EDF=60° （1）求证： △BDE ∽△ CFD （2）当 BD =1， FC=3 时，求 BE例2：（1）在 ABC 中， AB AC 5，BC 8，点 P 、Q分别在射线1、 △ABC 是等边三角形， DBCE 在一条直线上 ,∠ DAE=120 ,已知 BD=1 ，CE=3，求等边三角形的边长求证：（1）△ABE ∽△ACD ；2) BC 2 2BE CD ．3）共享型相似三角形CD点 B 重合），且保持 APQ ABC .①若点 P 在线段 CB 上（如图），且 BP 6，求线段 CQ 的长； ②若 BP x ，CQ y ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域；2）正方形 ABCD 的边长为 5（如下图），点P 、 Q 分别在直．线．CB 、 DC 上（点 P 不与点 C 、点 B重例 3：已知在梯形 ABCD 中， AD ∥BC ，AD <BC ，且 AD ＝5，AB ＝DC ＝2． （1）如图 8， P 为 AD 上的一点，满足∠ BPC ＝∠ A ．①求证； △ABP ∽△ DPC ②求 AP 的长．2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A 、D 不重合），且满足∠ BPE ＝∠ A ，PE 交直线 BC 于点 E ，同时交直线 DC 于点 Q ，那么①当点 Q 在 DC 的延长线上时，设 AP ＝x ，CQ ＝y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当 CE ＝1 时，写出 AP 的长．例 4：如图，在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AB CD BC 6 ， AD 3 ．点 M 为边 BC 的中点，以 M 为顶点作 EMF B ，射线 ME 交腰 AB 于点 E ，射线 MF 交腰 CD 于点 F ，联结 EF ． （ 1）求证： △MEF ∽△ BEM ；（ 2）若 △BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长； （3）若 EF CD ，求 BE 的长．合），且保持 APQ90 .当 CQ 1时，求出线段 BP 的长 .CADE C ．(1) 求证： △ABD ∽△ DCE ； （2）如果 BD x ， AE y ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量x 的定义域；当点 D 是BC 的中点时，试说明 △ADE 是什么三角形，并说明理由．2、如图，已知在 △ABC 中， AB=AC=6， BC=5，D 是 AB 上一点， BD=2，E 是 BC 上一动点，联结 DE ，并作 DEF B ，射线 EF 交线段 AC 于 F ．（1）求证： △DBE ∽△ ECF ；（ 2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长； （3）联结 DF ，如果 △DEF 与△DBE 相似，求 FC 的长．3、已知在梯形 ABCD 中， AD ∥ BC ， AD < BC ，且 BC =6，AB=DC=4，点 E 是AB 的中点．（ 1）如图， P 为 BC 上的一点，且 BP=2．求证： △BEP ∽△ CPD ；（ 2）如果点 P 在BC 边上移动（点 P 与点 B 、C 不重合），且满足∠ EPF=∠C ，PF 交直线 CD 于点 F ，同时交直线 AD 于点 M ，那么①当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=x ，DF=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的 定义域；9S BEP 时，求 BP 的长．41、如图，在 △ABC 中， ABAC 8，BC 10，D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在AC 边上，且(3)②当 S D MF4、如图，已知边长为3的等边ABC ，点F 在边BC 上，CF 1，点E是射线BA上一动点，以线段EF 为边向右侧作等边EFG ，直线EG,FG交直线AC 于点M,N，1）写出图中与BEF 相似的三角形；2）证明其中一对三角形相似；3）设BE x,MN y，求y与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（5）一线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD 中，CD=2 ，AD=3 ，点P 是AD 上的一个动点，且和点A,D 不重合，过点P 作PE CP ，交边AB 于点E,设PD x,AE y ，求y 关于x的函数关系式，并写出x 的取值范围。

A DGMN的面积．例2、在ABC 中，C 90o ,AC 4,BC 3,O 是 AB 上的一点，且AO 2AO 2 ，点 P 是 AC 上的一个动点， AB 5与点 B,C 重合），设 AP x,CQ y ，试求y 关于 x 的函数关系，并写出 定义域。

o 31.在直角 ABC 中， C 90o ,AB 5, tan B ，点 D 是 BC 的中点，点E 是 AB 边上的动点， DF DE4 PQ OP 交线段 BC 于点 Q ，（不 A求 AC 和 BC 的长 当 EF // BC 时，求 BE 的长。

连结 EF,当 DEF 和 ABC 相似时，求 BE 的长。

一个动点 （不含点 B 、C ）,作PQ AP 交CD 于点 Q .（图1）交射线 AC 于点 F（1）、（2）、（3）、2.在直角三角形 ABC o中， C 90o ,AB BC,D 是 AB 边上的一点， E 是在 AC 边上的一个动点， （与A,C 不重合）， DF DE,DF 与射线 BC 相交于点 F.(1) 、当点 D 是边 AB AD (2)、当 DB m ，求 的中点时，求证： DEDE 的值DF 6, AD 1 ，设 AEDB 2 DF x,BF y ,求y 关于 x 的函数关系式，并写出定义域3.如图， 在 ABC 中， C 90 ， AC 6 ， tanB 3，D 是BC 边的中点， E 为 AB 边上的一个动点， 4 作 DEF 90 ， EF 交射线 BC 于点 F ．设 BEx ， BED 的面积为 y ．4.如图 ,在梯形 ABCD 中， ABCD , AB 2,AD 4,tanC 43 ADC DAB 900,P 是腰 BC 上3）、当 ACBC 1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量2）如果以 B 、 E 、 F 为顶点的三角形与x 的取值范围；(1)求BC的长与梯形ABCD的面积；(2)当PQ DQ时,求BP的长；(图2)(3) 设BP x,CQ y,试求y关于x的函数解析式,并写出定义域。