n 0
对上式两边取拉氏变换，令 F (s) L[ f * (t )] 则
F ( s) L[ f (t )] f (nT )L[ (t nT )] f (nT )e
* n 0 nTs n 0 n 0
令z e
Ts
1 ，解得 s ln z ，则 T
f*(t)
f(t) K T
f*(t)
由采样过程知，连续信号与采样信号分别是采样开关 的输入/输出信号，则有
f (t ) f (t ) T (t ) f (t ) (t nT ) f (nT ) (t nT )
* n 0 n 0


3、零阶保持器的数学表示(zero-order holder) 保持器有零阶保持器、一阶保持器、二阶保持器等。 实际中，用的最多的是零阶保持器。其图如下 由图得，零阶保持器的数学表示为：
F ( z ) F ( s) s 1 ln z f (nT )z n
T n 0

定义：F ( z ) Z [ f * (t )] L[ f * (t )]
几点说明：
1 s ln z T
f (nT ) z n
n 0

1、Z变换定义是关于z的幂级数。只有当级数 收敛时，才称为采样函数的Z变换。
6、被控量的性质(quality
of object)
如温度对象，热惯性较大，反映较慢，调节不宜过 于频繁，可选择较大的采样周期，而对于流量对象， 变化迅速，反映快，则选择较小的采样周期。 常见被控对象的采样周期经验值如下表：
被控量 采样周期 流量 1～5s 压力 3～10s 液位 6～8s 温度 10～20s 位置 电流环 速度环
f (t )
g (t )
f (t )
g (t )
0
T
2T
3T
t
3、Z变换的物理意义表现在延迟性上。
F ( z) f (nT ) z f (0) z f (T ) z f (2T ) z f (nT ) z
n 0 1 2 n n 0
n n f ( nT ) f ( nT ) z 上式中，通项 ，由 决定幅值， 决 z 定时刻，称 z 1为位移(延迟)算子,n为位移量。
K 若对象为 G p ( s) ，一般取 T 0.1T0 T0 s 1 T (1.2 ~ 0.35) ,0.1 T 0 1 若对象为 Ke s ， G p (s) T0 s 1 T (0.35 ~ 0.22) ,1 T 0 10
3、给定值的变化频率（variety
三、Z变换的求法(Z transform methods ) 1、级数求和法(series summing)
(1)展开采样函数(expanding)
f * (t ) f (nT ) (t nT ) f (0) (t ) f (T ) (t T )
n 0
f (2T ) (t 2T ) f (nT ) (t nT )
脉冲传递函数（pulse transfer function） 离散系统稳定性判据(stability criterion)
§4.1 离散控制系统的理论基础
一、 信号的基本形式(basic form of signal)
1)连续信号 (continuous )
2）采样信号sampling
3）采样保持信号(sampling holding)
(2)求拉氏变换(transforming)
F (s) f (0) f (T )e Ts f (2T )e 2Ts f (nT )e nTs
(3)令 z e
Ts
F ( z ) f (0) f (T ) z 1 f (2T ) z 2 f (nT ) z n
二、信号的数学表示(math form of signal )
1、理想采样开关的数学表示
(t ) 单位脉冲函数是一个幅值为1， 1
宽度为0的脉冲量，图形表示 如右，
1, t 0 其数学表达式为 (t ) 0 t 0
0
t
由于理想采样开关的闭合时间很短， 1 所以图中其波形看作是一个有强度、 无宽度的脉冲序列，其数学表达式 t 为 0 T 2T 3T 4T (t ) (t nT )
F ( s) 1 e Ts e 2Ts e nTs
令 z eTs
F ( z) 1 z z
1 2
z
n
1 z ( 当 z 1 ) 1 z 1 z 1
例2 求 f (t ) e at 的Z变换
解：因 f (nT ) e anT
(4)然后按级数的性质写出级数的和函数 例1 求单位阶跃函数 f (t ) 1(t )的Z变换 解：因 f (nT ) 1 故 f (t ) f (nT ) (t nT ) (t nT )
* n 0 n 0
(t ) (t T ) (t 2T ) (t nT ) ห้องสมุดไป่ตู้ 求拉氏变换得
线性连续控制系统 微分方程 拉普拉斯变换 传递函数 状态方程 线性离散控制系统 差分方程 Z变换 脉冲传递函数 离散状态方程
§4.2.1 Z变换(Z transform）
一、定义（definition）
由前面得，采样信号得数学表达式为：

f * (t ) f (nT ) (t nT )
2、Z变换是针对采样函数f * (t ) 而言。即是说Z变 换由采样函数决定，它只对采样点有意义，反 映的是采样时刻的信息，对非采样时刻不关心。
故Z变换与采样函数是一一对应的。
F ( z ) G( z )
f * (t ) g * (t ) f (t ) g (t )
* f 上述关系说明：一个采样函数 (t ) 对应一个Z变换， 一个Z变换对应一个采样函数, 但是由于一个采样函 数 f * (t ) 可对应无穷多的连续函数 ,因为采样函数只是 考查得一些离散点的值。如下图所示：
f * (t ) f (nT ) (t nT ) e anT (t nT )
n 0 n 0
(t ) e aT (t T ) e 2aT (t 2T ) e anT (t nT )
F ( s) 1 e
第四章
离散控制系统及Z变换
discrete control system and Z transform）
离散控制系统的理论基础(basic theory)
Z变换及Z反变换(Z transform & Z inverse transform)
差分方程(difference equation)
4）数字信号(digital)：用量化单位q来度量采
样信号幅值后所得的信号。如图d
量化
图d
因此，一个计算机控制系统包括四种信号：连 续信号、采样信号、采样保持信号、数字信号。
整个计算机控制系统信号变换过程如下：
模拟信号 采样 经采样开关 模拟信号 采样保持信号 采样信号 经D/A转换 数字信号 经A/D转换器量化
T

n 0
T (t ) (t nT )
其中

1
1, t nT (t nT ) (n 0,1,2,) 0 t nT
n 0
t 0 T 2T 3T 4T
2、采样信号的数学表示
* f ( t ) f 连续信号用 表示，采样信号用 (t ) 表示。
f(t) K T
1. 系统动态指标（dynamic
一般取 T (1 15 ~ 1 4)t s
criterion）
time)为过渡时间（调节时间）:被 控量进入偏离稳态值的误差为±5％(或±2％)的 范围并且不再越出这个范围所需的时间。
t s (settling
2、系统的动态特性（dynamic
character）
经保持
量化、保持功能由A/D转换器完成，采样开关为软开关，由程 序的脉冲序列完成，故整个计算机控制系统信号变换过程等效 如下：
y (t )
y * (t )
A/ D
y(kT ) - +
数字信号
r (kT )
D( z )
u (kT )
u (t ) G ( s) D/ A p
模拟信号
模拟信号 采样信号
数字信号
t 0 n0 z
5、终值定理(finial value theorem)
f () lim f (t ) lim f (nT ) lim (1 z ) F ( z ) lim ( z 1) F ( z )
t n z 1 z 1 * 1
常见函数的Z变换表如下
f (t )
F (s)
1
1 s 1 s2 1 s3 1 s (1 / T ) ln a
(t )
1(t ) t
1 2 t 2
F ( z) 1
z z 1 Tz ( z 1) 2
a k (a t / T )
e
at
1 e at
1 sa 1 s( s a)
T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3 z za z z e aT (1 e aT ) z ( z 1)(z e aT )
二、Z变换的性质(character)
1、线性性质
* * * * Z[af1 (t ) b1 f 2 (t )] aZ[ f1 (t )] bZ[ f 2 (t )] aF1 ( z) bF2 ( z)