1 3 同理, 曲线 y= 4 x -2 在 P 处的切线斜率 k2=3, k 2- k 1 由夹角公式 tan=| 1+k k |=1 得 = . 4 2 1 故两曲线的交点处切线的夹角为 4 .

课后练习 1
1 (x2+1), x≤1, 已知函数 f(x)= 2 判断 f(x) 在 x=1 处是否可导. 1 (x+1), x>1. 2 1 [(1+Dx)2+1]- 1 (12+1) Dy 1 Dx) =1, 2 2 =lim (1+ 解: ∵D lim =lim Dx02 x0- Dx Dx0Dx 1 (1+Dx+1)- 1 (12+1) 1 Dx Dy 2 1, 2 2 lim =lim = =lim 2 Dx0+Dx Dx0+ Dx0+ Dx Dx Dy Dy Dy ∴ Dlim lim , 从而 lim 不存在 . D x x0- Dx Dx0+Dx D x 0 ∴ f(x) 在 x=1 处不可导. 注 判定分段函数在“分界点处”的导数是否存在, 要验证 其左、右极限是否存在且相等, 如果存在且相等, 那么这点的 导数存在, 否则不存在.
(2)物理意义: 函数 S=s(t) 在点 t0 处的导数 s(t0), 就是当物体 的运动方程为 S=s(t) 时, 物体运动在时刻 t0 时的瞬时速度 v, 即: v=s(t0). 设 v=v(t) 是速度函数, 则 v(t0)表示物体在时刻 t=t0 时的 加速度.
3.几种常见函数的导数
(1)c=0(c 为常数), (xn)=nxn-1(nQ); (2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx; 1 log e; (3)(lnx)= 1 , (log x ) = a x x a (4)(ex)=ex, (ax)=axlna.
典型例题 1
2+x+1, x≤0, x 已知函数 f(x)= (1)确定 a, b 的值, 使 f(x) 在 x=0 ax+b, x>0. 处连续、可导; (2)求曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程.
二、重点解析
导数概念比较抽象, 其定义、方法一般不太熟悉, 因此对导 数概念的理解是学习中的一个难点. 本节要重点掌握根据导数 定义求简单函数的导数的方法. 一方面, 根据导数定义求导可 进一步理解导数的概念, 另一方面, 许多法则都是由导数定义 导出的. 导函数(导数)是一个特殊的函数, 它的引出和定义始终贯穿 着函数思想, 首先定义函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 且在 x0 处有 唯一的导数 f(x0), 然后定义函数 y=f(x) 在开区间 (a, b) 内可导,
0
典型例题 4
2 与 y= 1 x3-2 的交点处切线的夹角(用弧度数 求曲线 y=2- 1 x 2 4 作答). 2 与 y= 1 x3-2联立方程组解得交点坐标为 P(2, 0). 解: 由 y=2- 1 x 2 4 1 ∵y=2- 2 x2 的导函数为 y=-x, ∴它在 P 处的切线斜率 k1=-2,
Dy f(x+Dx)-f(x) f(x)=y=lim =lim . D x 0 D x D x0 Dx 导函数也简称导数. 当 x0(a, b) 时, 函数 f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0) 等于函数 f(x) 在开区间 (a, b)内的导数 f(x) 在点 x0 处的函 数值. 如果函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, 那么函数 y=f(x) 在点 x0 处连 续, 但要注意连续不一定可导. 2.导数的意义 (1)几何意义: 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数 f(x0), 就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0, f(x0)) 处的切线的斜率 k, 即: k=tan=f(x0). 相 应的切线方程为 y-y0=f(x0)(x-x0).
若函数 f(x)=|x|, (1)试判断 f(x) 在 x=0 处是否可导; (2)当 x0 时, 求 f(x) 的导数. Dy |Dx| 解: (1)∵Dy=f(0+Dx)-f(0)=|Dx|, ∴ Dx = . Dx Dy Dy 当 Dx<0 时, Dx =-1, lim =-1; D x0 D x Dy Dy 当 Dx>0 时, Dx =1, lim =1, D x0 D x Dy Dy Dy ∴D lim lim , 从而 lim 不存在. x0- Dx Dx0+ Dx D x 0 D x 故函数 f(x)=|x| 在点 x=0 处不可导. (2)当 x>0 时, 可使 x+Dx>0. (x+Dx)-x |x+Dx|-|x| f(x+Dx)-f(x) =1. f(x)=lim =lim =lim D x 0 D x0 D x0 Dx Dx Dx 同理可得, 当 x<0 时, f(x)=-1. 注 函数在一点连续, 但不一定可导; 函数在一点可导, 直观 反映是函数的图象在这一点是平滑的.
课后练习 4
如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点 坐标与切线方程. 解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行, ∴切线斜率为 4.
因而对于开区间 (a, b) 内每一个确定的值, 都对应着一个确定 的导数 f(x0). 据函数定义, 在开区间 (a, b) 内就构成了一个新 函数, 即导数.
三、知识要点
1.导数的概念 对于函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x0 处有增量 Dx, 那么函数 Dy y 相应的有增量 Dy=f(x0+Dx)-f(x0), 比值 Dx 叫做函数 y=f(x) 在 Dy f(x0+Dx)-f(x0) x0 到 x0+Dx 之间的平均变化率, 即 . Dx = Dx Dy 如果当 Dx0 时, 有极限, 就说函数 y=f(x) 在点 x0 处可导, Dx 并把这个极限叫做 f(x) 在点 x0 处的导数(或变化率), 记作: f(x0+Dx)-f(x0) Dy =lim . f(x0) 或 y | x=x0, 即: f(x0)=lim Dx0 Dx Dx0 Dx
课后练习 2
课后练习 3
一质点作直线运动, 它所经过的路程 S(单位: m)和时间 t(单 位: s)的关系是 S=3t2+t+1. (1)求 [2, 2.01] 这段时间内质点的平 均速度; (2)当 t=2 时的瞬时速度. 解: (1)∵DS=32.012+2.01+1-(322+2+1)=0.1303. DS ∴v= Dt = 0.1303 0.01 =13.03(m/s). (2)∵DS=3(t+Dt)2+(t+Dt)+1-(3t2+t+1)=3Dt2+(1+6t)Dt, DS 3Dt2+(1+6t)Dt =3Dt+1+6t. ∴ Dt = Dt DS ∴v=lim =lim(3 Dt+1+6t)=6t+1. D t0 D t D t0 ∴v | t=2=13. 即当 t=2 时, 质点运动的瞬时速度为 13m/s. 注 (2)亦可直接对函数求导后解决.
f(x) =lim f(x)=f(0). 解: (1)要使 f(x) 在 x=0 处连续, 则需 xlim 0x0+
2+x+1)=1, f(0)=1, lim f(x) =lim(ax+b)=b, 而x lim f ( x ) =lim( x 0x0+ +
x 0 x 0
故当 b=1 时, 可使 f(x) 在 x=0 处连续.
一、复习目标
了解导数概念的某些实际背景(瞬时速度, 加速度, 光滑曲线 切线的斜率等), 掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何 意义, 理解导数的概念, 熟记常见函数的导数公式 c, xm(m 为有 理数), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的导数, 并能熟练应用它们求 有关导数.
பைடு நூலகம்
Dy [(0+Dx)2+(0+Dx)+1]-(02+0+1) 又 Dlim =lim =lim (Dx+1)=1, x0- Dx Dx0Dx Dx02+0+1) Dy [ a (0+ D x )+ b ] (0 lim+ Dx =lim+ Dx D x0 D x0
aDx+b-1 b- 1 =lim =a+lim D x + D x0 Dx0+ Dx 故当 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导. 综上所述, 当 b=1, aR 时, f(x) 在 x=0 处连续, 当 a=b=1 时, f(x) 在 x=0 处可导. (2)由(1)知, f(0)=1, 又 f(0)=1, 故曲线 y=f(x) 在点 P(0, f(0)) 处的切线方程为 y-1=x-0, 即 x-y+1=0.
典型例题 2
若 f(x) 在 R 上可导, (1)求 f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a 处的导数的关系; (2)证明: 若 f(x) 为偶函数, 则 f(x) 为奇函数. (1)解: 设f(-x)=g(x), 则 f(-a-Dx)-f(-a) g(a+Dx)-g(a) =lim g(a)=lim Dx D x0 Dx D x 0 f(-a-Dx)-f(-a) =-f(-a). =lim - Dx -Dx0 ∴f(-x) 在 x=a 处的导数与 f(x) 在 x=-a 处的导数互为相反数. (2)证: ∵f(x) 为偶函数, f(-x+Dx)-f(-x) f(x-Dx)-f(x) ∴f(-x)=lim =lim D x 0 D x 0 Dx Dx f(x-Dx)-f(x) =-f(x), =lim -Dx0 -Dx ∴f(x) 为奇函数. 注: 本题亦可利用复合函数的求导法则解决.