导数与导函数的概念【基础知识点】1．函数从到的平均变化率为①____________，若，21x x x =-△，则平均变化率可表示为．21()()y f x f x =-△2．一般的，定义在区间（，）上的函数，，当无限趋近于0时，a b )(x f )(b a x o ，∈x ∆无限趋近于一个固定的常数A ，则称在处可导，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()()(x f o x x =并称A 为在处的导数，记作或)(x f o x x =)('o x f ox x x f =|)('3．几何意义：在处的导数就是在处的切线斜率。

)(x f 0x x =)(x f 0x x =4．导函数的概念：的对于区间（,）上任意点处都可导，则在各点的导数)(x f a b )(x f 也随x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数被称为的导函数，记作)(x f 。

)('x f 【典例解析】【典例1】函数满足，则当x 无限趋近于0时，)(x f 2)1('=f （1）=-+xf x f 2)1()1(（2）=-+xf x f )1()21(变式:设f(x)在x=x 0处可导，（3）无限趋近于1，则=___________xx f x x f ∆-∆+)()4(00)(0x f '（4）无限趋近于1，则=__________xx f x x f ∆-∆-)()4(00)(0x f '（5）当△x 无限趋近于0，所对应的常数与的xx x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00)(0x f ' 关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

【基础知识点】1．基本初等函数的求导公式：⑴ (k,b为常数) ⑵(C为常数)()kx b k'+=0)(='C⑶⑷()1x'=2()2x x'=⑸⑹32()3x x'=211()x x'=-⑺'=⑻（为常数）1()x xααα-'=α⑼()ln (01)x xa a a a a'=>≠，⑽a a11(log x)log e (01)x xlnaa a'==>≠，且⑾⑿xx e)(e='x1)(lnx='⒀⒁cosx)(sinx='sinx)(cosx－='2．曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f（x）在点P（x0，f（x0））处的切线方程是y－f（x0）＝（x－x0）；)('oxf3．求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．4．函数的差、积、商的求导法则：（1）[]()()''()'()f xg x f x g x±=±（2）[]()'()'cf x cf x=（3）[]()()''()()()'()f xg x f x g x f x g x=+（4）'2()'()()()'()(()0)()()f x f xg x f x g xg xg x g x⎛⎫-=≠⎪⎝⎭【典例解析】【典例1】求下列函数的导数（1）（2）y=41yx=（3）（4）4logy x=sin()2y xπ=-（5） （6）3cos()2y x π=+x x x y =题型一：点在曲线上【典例2】已知曲线上一点,则过点的切线方程为.331x y =)38,2(P P 解析：过点P 的切线的斜率为，那么切线方程为 ，即()'24k f ==()8423y x -=- ．123160x y --=变式：（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线在点(1,f (1))处的切线方程为________.2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+题型二：点不在曲线上【典例3】过点作抛物线的切线，则其中一条切线为)0,1(-12++=x x y 解析：设切点为，切线的斜率为，则切线方程为：()00,x y ()'0021fx x =+ ，因为点在切线上，故 ，解得()()'000y y f x x x -=-)0,1(-()()'0001y f x x -=-- ，或 ，切点为 或 ，故切线方程为 或00x =02x =-()0,1()2,3-20x y -+=330x y ++=变式：1．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点.与函()1,0-数(是自然对数的底数)图像相切的直线方程是__________.()xf x e =e 2．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系中,已知点P 是函数xOy 的图象上的动点,该图象在P 处的切线交y 轴于点M ,过点P 作的)0()(>=x e x f x l l 垂线交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__题型三：已知切线斜率求切线方程【典例4】求垂直于直线且与曲线相切的直线方程。

0162=+-y x 5323-+=x x y 解析：设切点为 ，切线的斜率为，解得，切点()00,x y ()'2000363fx x x =+=-01x =-为 ，切线方程为()1,3--360x y ++=题型四：已知切线求参数【典例5】已知直线是的切线，则的值为kx y =x y ln =k解析：设切点为，切线的斜率为，切线方程为()00,x y ()'001fx k x == ，即 ，由已知条件得 ，切点为 ，()0001y y x x x -=-01y kx y =+-010y -=(),1e ．1k e=变式：若直线是曲线的切线, 则实数的值为 .x y =px x x y +-=233p 解析：设切点为 ，切线的斜率为，切线方程为()00,x y ()'2000361fx x x p =-+= ，即，，解得00y y x x -=-3200003y x x x px x =+-+-32000030x x px x -+-= ； ， ．00,1x p ==032x =134p =拓展：点是曲线上任意一点，求点到直线的最小距离。

P xe y =P x y =题型五：求函数的解析式【典例6】已知的导数,且,求不等式)(x f 2)1(23)(2-++-='a x a x x f a f 2)0(=的解析式.()f x 变式：1．是一次函数, '()f x 2'()(21)()1x f x x f x --=2．若对任意的有且，则此函数的解析式是 .x 34)(x x f ='1)1(-=f 3．曲线C ：f(x)= ax 3+bx 2+cx+d 关于原点成中心对称，y 极小=f(1)=． 32-（1）求f(x)的解析式；（2）在曲线C 上是否存在点P ，使过P 点的切线与曲线C 除P 点以外不再有其它公共点？证明你的结论．si 练习：1．（2005江苏，理14）曲线在点（1,3）处的切线方程是 .31y x x =++【答案】4x-y-1=0.2．(2014·江西)若曲线y ＝e －x 上点P 处的切线平行于直线2x ＋y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．答案　(－ln 2,2)解析　设P (x 0，y 0)，∵y ＝e －x ＝，∴y ′＝－e －x ，∴点P 处的切线斜1e x 率为k ＝－e －x 0＝－2，∴－x 0＝ln 2，∴x 0＝－ln 2，∴y 0＝e ln 2＝2，∴点P 的坐标为(－ln 2,2)．3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数π2a ＝________.4．（2008江苏，理8）设直线是曲线的一条切线，则实数的b x y +=21)0(ln >=x x y b 值是___________.【答案】ln2－1．【解析】 ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以'1y x=112x =2x =b ＝ln2－1．5．（2009江苏，理9）在平面直角坐标系xOy 中,点P 在曲线C:y ＝x 3－10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2,则点P 的坐标为___________________.【答案】(－2,15)．【解析】∵y′＝3x 2－10,设切点P(x 0,y 0)(x 0＜0),则点P 处切线斜率k ＝3x 02－10＝α,∴x 0＝－2(x 0＜0).∴ P(－2,15).6．（南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷）曲线在点2(1)1()e (0)e 2x f f x f x x '=-+（1,f （1））处的切线方程为________．7．（江苏省淮安市2013届高三上学期第一次调研测试数学试题）过点．与函数()1,0-（是自然对数的底数）图像相切的直线方程是__________．()x f x e =e8．（拓展2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系中,已知点P 是函数xOy 的图象上的动点,该图象在P 处的切线交y 轴于点M ,过点P 作的垂线)0()(>=x e x f x l l 交y 轴于点N ,设线段MN 的中点的纵坐标为t ,则t 的最大值是__________．9．曲线y=与曲线y=在交点处的切线的夹角为__________。

x1x 10．设点P 是曲线y=x3－3x+2上的任意一点,P 点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是______________),32[)2,0[πππ[解析]∵y ’=3x2－3≥－3, ∴tan α≥－3又∵ 0≤α≤∏∴0≤α<παππ<≤322或。