作业与思考
复习思考题 P49 4
作业题 P49:3, 5 (1)(2)(4) (6)(7)(10).
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰·B·塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔·卡内基]
否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0
的导数不存在). 特别
若 lx i0m f(x0 xx )f(x0) (不可 )，导
也f称 (x)在 x0的导 为数 无. 穷大
注2.导数定义还有其他等价形式,
f(x0)lh i0m f(x0h h )f(x0);
x22x x( x)2x2
(2) y 2xx x
2xx(x)2
(3) f(x)limy2x. x0x
三、导数的几何意义
函数y=f (x)在x0处的导数 f '(x0)就是曲线y = f (x) 在点M(x0, f (x0)处切线的斜率，即 k = f '(x0).
一般, 若f '(x0)存在, 则y=f (x)在点M(x0, f (x0)处 切线方程为
y f( x 0 ) f( x 0 )x ( x 0 )
法线方程为 yf(x0)f(1 x0)(xx0), (f(x0)0 ).
特别，(i)当f '(x0)=0时，即k = 0. 从而切线平行于 x轴. 因此，法线垂直于x轴. 如图
记 f (x 0 ) lx i 0 m f(x 0 x x ) f(x 0 ),称为 f (x)在x0的右导数. 记 f (x 0 ) lx i 0 m f(x 0 x x ) f(x 0 ), 称为 f (x)在x0的左导数.
定理： f (x) 在x0可导 f (x)在x0的左, 右 导数存在且相等.
用定义求导数一般可分三步进行. 设y = f (x)在点x处可导
(1) 求y=f (x+x) f (x) (2) 求比值 y xf(x xx)f(x) (3) 求极限 lx i 0 m y x lx i 0fm (x x x ) f(x ) f(x ).
数的表达式. 而f '(x0)就是f '(x)在x= x0处的函数值，即
f(x 0 ) lx i 0fm (x 0 x x ) f(x 0 ) f(x )x x 0
另外，求 lx i0 m f(x xx)f(x)时x， 是不变
看作常量，变的是x.
二、求导举例
例1. 求 y = C (常数)的导数.
解：(1) y = f (x+x) f (x) = C C = 0 (2) y 0 x (3) lim y 0. x0 x 故(C )' = 0, 即常数的导数为0.
例2. 设 y = f (x) = x2，求f '(x).
解：(1) y = f (x+x) f (x) = (x+x)2 x2
处的导数，记作f ' (x0), 即
f(x0) lx i0m f(x0 xx )f(x0) 也可 y x x 0 ,d d y x 记 x x 0 或 d 为 fd ( x x )x x 0 .
注1. 若 limf(x0x)f(x0)存在，则称
x 0
x
f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在).
曲线的切线的斜率、运动物体在某时刻的 速度，其实质是对应函数中函数相对于自变量 的变化率，即导数．以下介绍导数的定义 .
一、导数的定义
定义：设 y=f (x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义.
如果当x0时，yf(x0x)f(x0)
x
x
的极限存在, 则称这个极限值为f (x)在x0
注4.若 y = f (x)在(a, b)内每点可导，则称 f (x)在 (a, b)内可导.称为y = f (x)的导函数.
此时，x(a, b)都有唯一确定的值f '(x)与之 对应，所以导数是x的函数.
记f作 (x),y', dy, df(x). dx dx
按定义，f(x ) lx i 0fm (x x x ) f(x )， x ( a ,b ). f ' (x)就是x所对应的导数值，这个式子就是导函
若记x=x0+x, 当x0时, x x0,
f(x0)xl ix0 m f(xx) xf0(x0);
特别，取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有
f (0)limf(x). x0 x
注3.由于 f(x 0 ) lx i0f m (x 0 x x ) f(x 0 )
2.1导数的概念
大纲要求
（1）了解导数、微分的几何意义；隐函数的求导方 法；二阶导数；
（2）理解导数、微分、极值、最值的概念；
（3）掌握导数的运算法则；复合函数的求导法则； 导数的基本公式;洛必达法则；
（4）会求未定式的极限;会求函数的极值与最大（小） 值；会判断函数的单调性；
微分学是微积分的重要组成部分，它的基 本概念是导数与微分，而求导数是微分学中的 基本运算.在本章中，我们主要讨论导数与微 分的概念、它们的计算方法及其应用.
y
y=f (x)
切线方程：y = f (x0).
M
f (x0)
法线方程：x = x0.
0
x0
x
(2) 当f '(x0)=(不存在). 即k = tg =. 故

2
从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴.
切线方程： x = x0. 法线方程： y = f (x0).
如图, 单位圆在(1, 0)处切线方程: x = 1. 法线方程: y = 0.
yБайду номын сангаас
–1 0
1x
例3. 求曲线y=x 2在 x2 处的切线方程.
解：把x0 2代入 y x2，得到y0 =4. 又因为f ‘(x0)=
2x0=4,故直接用公式 y f (x0) = f ’(x0)(x x0) 即可得到：.
点(2,4)处切线方程为: y44(x2).
即y4x4.