4
题型四 集合中的新定义问题
例 4 (2011·广东)设 S 是整数集 Z 的非空子集，如果∀a，b∈S，有 ab∈S，则称 S 关于数
的乘法是封闭的．若 T，V 是 Z 的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且∀a，b，c∈T，
有 abc∈T；∀x，y，z∈V，有 xyz∈V，则下列结论恒成立的是
验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化． 2． 对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，
求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号． 3． 对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助 Venn 图．这是数形结合思想的
又一体现． 失误与防范 1． 空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注
( )
A．T，V 中至少有一个关于乘法是封闭的
B．T，V 中至多有一个关于乘法是封闭的
C．T，V 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．T，V 中每一个关于乘法都是封闭的
思维启迪：本题是一道新定义问题试题，较为抽象，题意难以理解，但若“以退为进”，
取一些特殊的数集代入检验，即可解决．
答案 A
解析 不妨设 1∈T，则对于∀a，b∈T，∵∀a，b，c∈T，都有 abc∈T，不妨令 c＝1，
8
8
题型二 集合间的基本关系
例 2 已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若 B⊆A，求实数 m 的取值 范围．
思维启迪：若 B⊆A，则 B＝∅或 B≠∅，要分两种情况讨论． 解 当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2. 当 B≠∅时，若 B⊆A，如图．
则Error!，解得 2<m≤4. 综上，m 的取值范围为 m≤4. 探究提高 (1)集合中元素的互异性，可以作为解题的依据和突破口；(2)对于数集关系问 题，往往利用数轴进行分析；(3)对含参数的方程或不等式求解，要对参数进行分类讨论．
题型一 集合的基本概念
例 1 (1)下列集合中表示同一集合的是
( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{2,3}，N＝{3,2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
{ }b
(2)设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝ 0， ，b ，则 b－a＝________. a
设全集是实数集 R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<0}． (1)当 a＝－4 时，求 A∩B 和 A∪B； (2)若(∁RA)∩B＝B，求实数 a 的取值范围．
1 解 (1)∵A＝{x| ≤x≤3}，
2 当 a＝－4 时，B＝{x|－2<x<2}，
1 ∴A∩B＝{x| ≤x<2}，A∪B＝{x|－2<x≤3}．
解析 ∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，
∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.
∴B＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，
法要特别注意端点是实心还是空心． 5． 要注意 A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．
易错分析 本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合 B 是解决本题的关键，该题
解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合 B 中的元素(x，y)不是有序数对，而是
无序的两个数值；二是对于集合 B 的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x－y∈A”，只关注
“x∈A，y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．
∴B 中所含元素的个数为 10.
答案 D
温馨提醒 判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字
母符号，区分 x、y、(x，y)；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y＝f(x)}表
示函数 y＝f(x)的定义域，{y|y＝f(x)}表示函数 y＝f(x)的值域，{(x，y)|y＝f(x)}表示函数 y＝
对空集的讨论，防止漏解． 2． 解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3． 解答集合题目，认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解
的两个先决条件． 4． Venn 图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示
(1)子集：对任意的 x∈A，都有 x∈B，则 A⊆B(或 B⊇A)．
(2)真子集：若 A⊆B，且 A≠B，则 AB(或 BA)．
(3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B(B≠∅)．
(4)若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，A 的非空子集有 2n－1 个．
{0,1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,4,5}，{2,3,4,5}，这样的集合共有 6 个．
易错题训练
典例 1：(5 分)(2012·课标全国)已知集合 A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，
则 B 中所含元素的个数为
( )
A．3 B．6 C．8 D．10
2 1
(2)∁RA＝{x|x<2或 x>3}， 当(∁RA)∩B＝B 时，B⊆∁RA，即 A∩B＝∅. ①当 B＝∅，即 a≥0 时，满足 B⊆∁RA； ②当 B≠∅，即 a<0 时，B＝{x|－ －a<x< －a}，
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
要使 B⊆∁RA，需
－a≤ ，解得－ ≤a<0.
2
4
1 综上可得，实数 a 的取值范围是 a≥－ .
集合的概念与运算复习课
1． 集合与元素
(1)集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集
正整数集
整数集 有理数集 实数集
符号
N
N*(或 N＋)
Z
Q
R
2. 集合间的关系
思维启迪：解决集合问题首先要考虑集合的“三性”：确定性、互异性、无序性，理解
集合中元素的特征．
答案 (1)B (2)2
解析 (1)选项 A 中的集合 M 表示由点(3,2)所组成的单点集，集合 N 表示由点(2,3)所组 成的单点集，故集合 M 与 N 不是同一个集合．选项 C 中的集合 M 表示由直线 x＋y＝1 上的所有的点组成的集合，集合 N 表示由直线 x＋y＝1 上的所有的点的纵坐标组成的集 合，即 N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合 M 与 N 不是同一个集合．选项 D 中的集合 M 有两 个元素，而集合 N 只含有一个元素，故集合 M 与 N 不是同一个集合．对选项 B，由集 合元素的无序性，可知 M，N 表示同一个集合．
{ }b
(2)因为{1，a＋b，a}＝ 0， ，b ，a≠0， a
b 所以 a＋b＝0，得 ＝－1，
a 所以 a＝－1，b＝1.所以 b－a＝2. 探究提高 (1)用描述法表示集合时要把握元素的特征，分清点集、数集；(2)要特别注 意集合中元素的互异性，在解题过程中最容易被忽视，因此要对计算结果进行检验，防
止所得结果违背集合中元素的互异性．
若集合 A＝{x|ax2－3x＋2＝0}的子集只有两个，则实数 a＝________.
9 答案 0 或
8
解析 ∵集合 A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．
2 当 a＝0 时，x＝ 符合要求．
3
9
9
当 a≠0 时，Δ＝(－3)2－4a×2＝0，∴a＝ .故 a＝0 或 .
f(x)图象上的点．
遗忘空集致误
典例 2：(5 分)若集合 P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且 S⊆P，则由 a 的可取值组成
的集合为__________．
易错分析 从集合的关系看，S⊆P，则 S＝∅或 S≠∅，易遗忘 S＝∅的情况．
解析 (1)P＝{－3,2}．当 a＝0 时，S＝∅，满足 S⊆P；
则 ab∈T，故 T 关于乘法是封闭的，故 T、V 中至少有一个关于乘法是封闭的；若 T 为
偶数集，V 为奇数集，则它们符合题意，且均是关于乘法是封闭的，从而 B、C 错误；
若 T 为非负整数集，V 为负整数集，显然 T、V 是 Z 的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，
且∀a，b，c∈T，有 abc∈T，∀x，y，z∈V，有 xyz∈V，但是对于∀x，y∈V，有 xy>0，xy∉V，D
1 当 a≠0 时，方程 ax＋1＝0 的解集为 x＝－ ，
a
1
1
为满足 S⊆P 可使－ ＝－3 或－ ＝2，
a
a
{ } 1
1
11
即 a＝ 或 a＝－ .故所求集合为 0， ，－ .
3
2
32
{ } 1 1
答案 0， ，－ 32
温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是
抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽
1 略对空集的讨论，如 S＝∅时，a＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－ 可以为－3 或 2.因
a 此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.
方法与技巧 1． 集合中的元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到．解题后要进行检
已知集合 A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是(c， ＋∞)，其中 c＝________.