专题七几何概型【几何概型的定义及计算】【几何概型的概念】如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）称比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。

【几何概型的概率】一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d内＂为事件A，则事件A发生的概率。

说明：（1）D的测度不为0；（2）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积；（3）区域为＂开区域＂；（4）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．【几何概型的基本特点】（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个；（2）每个基本事件出现的可能性相等．【2017年高考全国Ⅰ卷，理2】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【答案】B秒杀解析：由题意可知，此点取自黑色部分的概率即为黑色部分面积占整个面积的比例，由图可知其概率1142p<<，故选B.【考点】几何概型【点拨】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()P A.答题思路【命题意图】本类问题主要涉及古典概型、几何概型、对立事件概率的计算及概率与统计的综合,要求掌握利用古典概想、几何概型求概率的方法,掌握利用互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率公式求概率的方法.【命题规律】本类问题若单独命题 ,一般以客观题形式出现,难度都不大,解答题常与随机变量的分布列及统计结合在一起进行考查.【答题模板】解答本类题目，以2017年高考题为例，一般考虑如下三步：第一步：辨别古典概型还是几何概型因为试验是等可能的，其基本事件的个数是无限个，从而是几何概型；第二步：分别计算事件A 和基本事件所包含的区域长度、面积或体积等设正方形边长为a ，则圆的半径为2a ，则正方形的面积为2a ，圆的面积为24a π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.第三步：运用几何概型的计算公式计算即可得出结论.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是221248a a ππ⋅=【方法总结】1.几何概型与古典概型的关系几何概型是古典概型的补充和推广,它要求随机试验的基本事件空间包含无穷多个元素,每个基本事件由在几何空间(一维、二维、三维)中的某一区域G 内随机而取的点的位置来确定；而“基本事件发生或出现是等可能的”这一要求,两种概率模型是高度统一的. 2.与长度或面积有关的几何概型是高考命题的热点,多以选择题或填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题．重点关注：与线段长度有关的几何概型；与一元不等式有关的几何概型；与距离有关的几何概型．求解与面积有关的几何概型的注意点：求解与面积有关的几何概型时,关键是弄清某事件对应的面积以求面积,必要时可根据题意构造两个变量,把变量看成点的坐标,找到试验全部结果构成的平面图形,以便求解．3.解决几何概型问题,注意把握好以下几点： (1)能正确区分古典概型与几何概型.例1：在区间[0,10]上任意取一个整数x ,则x 不大于3的概率为________. 例2：在区间[0,10]上任意取一个实数x ,则x 不大于3的概率为________.例1的基本事件总数为有限个11,不大于3的基本事件有4个,此为古典概型,故所求概率为.例2的基本事件总数为无限个,属于几何概型,所求概率为.(2)准确分清几何概型中的测度.例3：在等腰Rt△ABC 中,∠C ＝90°,在直角边BC 上任取一点M ,求∠CAM ＜30°的概率. 例4：在等腰Rt△ABC 中,∠C ＝90°,在∠CAB 内过点A 作射线交线段BC 于点M ,求∠CAM ＜30°的概率.例3中的测度定性为线段长度,当∠CAM0＝30°,CM0＝AC＝C B.满足条件的点M等可能的分布在线段CM0上,故所求概率等于＝.例4中的测度定性为角度,过点A作射线与线段CB相交,这样的射线有无数条,均匀分布在∠CAB内,∠CAB＝45°.所以所求概率等于＝＝.(3)科学设计变量,数形结合解决问题.例5：某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待时间不多于10分钟的概率.例6：某人午觉醒来,发现表停了,求表停的分钟数与实际分钟数差异不超过5分钟的概率.例5是《必修3》P136的例题,此题中的变量(单变量)可看作是时间的长度,故所求概率为＝.例6容易犯解例5形成的定势思维的错误,得到错误答案＝.原因在于没有认清题中的变量,本题的变量有两个：手表停的分钟数和实际分钟数,都可取[0,60]内的任意时刻,故所求概率需用到面积型几何概型,由|x－y|≤5结合线性规划知识可解,所求概率为＝.通过这两道例题我们也可以看出,单变量多用线型测度,多变量需用面积(或体积)型测度.在画好几何图形后,利用数形结合思想。

1. 【2017年高考江苏卷7】记函数()f x=D.在区间[4,5]-上随机取一个数x,则x D∈的概率是.【答案】5 9【考点】几何概型概率【点拨】(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．2．【2017湖南长沙一中模考二】在区间[1,2]上任选两个数x,y，则2yx<的概率为 ( )A. B. C. D.【答案】A3．【2017湖南长沙雅礼中学模考二】在如图所示的锐角三角形空地中，有一内接矩形花园（阴影部分），其一边长为x（单位：m）.将一颗豆子随机地扔到该空地内，用A表示事件：“豆子落在矩形花园内”，则()P A的最大值为（）A.14 B. 512 C. 12 D. 34【答案】C【解析】设矩形的另一边为y ，由三角形相似可得402,40420xy y x -==- 矩形面积为()()240404004x x x x -+-≤= ，即矩形最大面积为400 ，根据几何概型概率公式可得， ()P A 的最大值为()40011240402P A ==⨯⨯ ，故选C. 4．【2017辽宁葫芦岛协作体6月模考】已知在椭圆方程22221x y a b+=中，参数,a b 都通过随机程序在区间()0,t 上随机选取，其中0t >，则椭圆的离心率在⎫⎪⎪⎭之内的概率为（ ）A.12 B. 13 C. 14 D. 23【答案】A5．【2017湖北衡水押题卷】已知直角坐标原点O 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的中心，1F ， 2F 为左、右焦点，在区间()0,2任取一个数e ，则事件“以e 为离心率的椭圆C 与圆O ： 2222x y a b +=-没有交点”的概率为（ ）【答案】A【解析】满足题意时，椭圆上的点()cos ,sin P a b θθ 到圆心()0,0O 的距离：()()222222cos 0sin 0d a b r a b θθ=-+->=+ ，整理可得2222222222sin sin 11,111sin 1sin 1sin 2b b e a a θθθθθ>∴=-<-=<+++ ， 据此有：21,02e e <<<，题中事件的概率p ==本题选择A 选项.6．【2017江西重点中学联盟联考二】如图，在边长为2的正方形ABCD 中， M 是AB 的中点，过,,C M D 三点的抛物线与CD 围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（ ）A.16 B. 13 C. 12 D. 23【答案】D7．【2017湖北武汉四月调研】在长为16cm 的线段MN 上任取一点P ，以,MP NP 为邻边作一矩形，则该矩形的面积大于260cm 的概率为（ ）A.14 B. 12 C. 13 D. 34【答案】A【解析】本题为一维几何概型，设MP x =，则16NP x =-， (016)x <<，矩形面积为：()1660x x ->， 610x << ，则该矩形的面积大于260cm 的概率为41164=，选A. 8．【2017福建宁德三质检】已知M 是圆周上的一个定点，若在圆周上任取一点N ，连接MN ，则弦MN 的长不小于圆半径的概率是（ ） A.14 B. 13 C. 12 D. 23【答案】D9．【2017湖南常德一模】如图所示，在ABC ∆内随机选取一点P ，则PBC ∆的面积不超过ABC ∆面积一半的概率是A.12 B. 14 C. 13 D. 34【答案】D【解析】 记事件{A PBC =∆的面积超过}2S， 基本事件空间是ABC ∆的面积，如图所示，事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积（DE 是三角形的中位线）， 因为阴影部分的面积是整个三角形面积的34， 所以()34P A ABC ==阴影部分的面积三角形的面积，故选D.10．【2017重庆巴蜀中学三诊】已知1Ω是集合()22{,|1}x y x y +≤所表示的区域， 2Ω是集合(){,|1}x y x y +≤所表示的区域，向区域1Ω内随机的投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为__________． 【答案】2π【解析】由几何概型可知2P π=.,填2π. 11．【2017河南4月质检】折纸已经成为开发少年儿童智力的一种重要工具和手段，已知在折叠“爱心”活动中，会产生如图所示的几何图形，其中四边形ABCD 为正方形， G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也是正方形，连接EB , CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为__________．【答案】1312.【2016年高考全国Ⅰ卷，理4】某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】B【考点】几何概型【点拨】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.13.【2016年高考全国Ⅰ卷，理4】某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】B【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402，选B.【考点】几何概型【点拨】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.14.【2016年高考全国Ⅱ卷，理10】从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n【答案】C【解析】 试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为22π4S R m S R n==圆正方形，所以4πm n=.选C. 【考点】几何概型【点拨】求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．15.【2016年高考山东卷，理14】在[1,1]-上随机地取一个数k ，则事件“直线y =kx 与圆22(5)9x y -+=相交”发生的概率为 . 【答案】34【考点】直线与圆位置关系；几何概型【点拨】本题是高考常考知识内容，考查几何概型概率的计算.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，涉及点到直线距离的计算.本题能较好地考查考生分析问题、解决问题的能力及基本计算能力等.。