N0 初始时刻人口总数
4
建立模型:
由假设3， N(t t) N(t) B(t, t, N) D(t, t, N)
由假设4， N(t t) N(t) b(t, t, N) d(t, t, N)N(t)
记 R(t, t, N ) b(t, t, N ) d (t, t, N )
2. 群体的规模很大， 以至于人口随时间的增减变化过程
可认为是连续的、 光滑的。 3. 所考虑的群体是封闭的。 4. 人口繁殖和死亡均考虑大范围内的平均效应。 5. 各时期的增长规律相同。 6. 任何个体的增殖不考虑总体的总数。
3
符号设定:
t 时刻
N(t) t时刻所考虑区域内的人口总数
B(t, t, N) t时刻t时段出生数 D(t, t, N) t时刻t时段死亡数 b(t, t, N) t时刻t时段出生率 d(t, t, N) t时刻t时段出生率 r(t, N) t时刻的瞬时净增长率
收获源于收获前的耕耘，收获量源于收获前耕耘的方式和程度，
物种数量的增加源于该物种繁存量大于死亡量等都是平衡。
这些平衡关系是数学建模中常用的依据。
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二、 建模实例
例1: 建立模型， 描述人口的增长规律。 若2000年， 西安市人口总数为6052000人， 新生
人口数7058人， 死亡数3257人， 问2020年西安总人
第四章 数学建模的常用方法(上)
§4.1 平衡原理建模
一、平衡原理
我们称研究对象的同一个量在两个不同方面的表
现之间的关系为平衡原理。利用这些平衡关系导出研究
对象的数学关系的过程称为用平衡原理建模。
自然界和社会领域到处充满平衡关系。 “事出有因” 便是对平衡关系的高度概括。 能量守恒、 动量守恒是平衡关系，
从数据资料中挖掘事物的内部特征
利用数据资料寻找事物内部各因素间的相互联系
3. 数据资料建模必要准备
收集有用的数据资料
从数据资料中剥离有用数据
对非数据性指标作量化处理
学习相适应的数据处理方法 掌握相应的计算软件使用方法
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二、 建立因果关系模型的几种方法
1. 单因素因果模型
设在对某问题进行分析后发现， 某因素x是影响另一因素y的主要因素
模型评价:
从社会人口发展的历史规律及建立模型时所作的假设看， 如果r选择了某特定时段有代表性的值， 该模型具有较好的 表现力。 其原因在于假定了r为常数， 事实上， 物种数量的 发展在环境制约下， 有一定的自然协调作用。
模型改进:
若将r设定成种群总量N的递减函数, 模型在t 时可
能会有更好的表现力。

x1i x2i x3i xmi yi

x1n x2n x3n xmn yn
现假设因果关系的函数形式为：
y 0 1x1 2x2 p xp
将问题中的数据代入模型即有误差
i yi (0 1x1i 2 x2i p xpi )
模型检验:
若r 0， 我们有lim N(t) 若r 0， 我们有lim N(t) 0
t
t
这说明模型的使用有一定的局限性。 若要求模型能广泛的使用，
必须改进模型。改进的途径应该首先从假设4着手。 若r能适应某
特定时段， 模型还可用。
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模型应用:
由题给数据计算r,然后计算N (20) 605200 e20r
● 当需要对研究对象进行类别划分时，知道区分这些 对象的类别归属的描述指标，但面对一个给定的对象， 怎样确定它应该属于哪一类？其科学标准和方法是什 么？
● 哪些因素之间有因果关系，哪种因果关系是该问题 中因果关系的更准确的表达？
● 哪些指标能更有力地区分研究对象的类属？
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2. 数据资料建模方法的含义
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例2 :带年龄结构的人口模型
问题分析:
我们的目标是期望得到在任何时刻t, 各年龄段 的人口数别为多少
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思考题
1. 用平衡原理方法建立某物种数量发展的数学模型. 2. 用动态平衡的方法建立某可再生物种的动态平衡模型.
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§4.2 数据资料建模
一、数据资料建模方法的含义 1、数据资料建模方法的适用范围 在科学研究中，人们经常遇到的有些问题具有以下特征： ● 能确定其中某些因素之间有因果关系，但不知道这 种因果关系的解析表达。
但我们不知道又希望知道它们间的相依规律， 即得到模型。
假设我们已经取得了x和y的n组数据,
记其为xi
,
yi
n 1
将这n组xi , yi 视为平面上的n个点，
y




x
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2、多个原因的线性因果关系
问题的表现形式为：
x11 x21 x31 xm1 y1
x12 x22 x32 xm2 y2 x13 x23 x33 xm3 y3
N N (t t) N (t) 考虑R(t, t, N)关于t的Taylor展开式
R(t, t, N) R(t,0, N) R(t,0, N)t o(t) r(t, N )
即有 N r(t, N )N 由假设2有 dN r(t, N )N
t
dt
考虑N (0)

N
应为已知，
0
于是有模型:
dN r(t, N )N dt
N t0 N0
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模型求解:
所建模型的一个变量可分离的常微分方程。 由假设4， 我们视r(t, n)为常数r.
分离变量再两端积分得 N (t) Cert
由N (0) N0得 C N0
代入即得模型的解为 N (t) N0ert
口数约多少？ 分析 : 我们把问题的目标理解为人口数量的增长。
影响人口数量变化的因素很多。如 : 人口基数、 年龄结构、
性别比例、 生育观念、 社会环境、 人口政策、自然环境等等。
为了简化问题， 我们把所有影响因素概括 成一个影响因素 —时间t。
于是， 我们建模的目标是寻找N(t)
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模型假设：
1. 忽略人群中的个体差异。
n
所有
自然应满足
j

2 i

min
i 1
上式便是模型中的系数应该满足的条件。
应用求多元函数极值的方法不难求得全