U 1
－ +
Z I U 1 1 (6.16 j 9) 100 10.955.6 100 10955.6V Z I (2.5 j 4) 100 U 2 2 4.72 58 100 47.2 58V
ZI U
称为欧姆定律的相量形式。 电阻、电感、电容的阻抗：
ZR R Z L jX L jL 1 Z C jX C j C
相量模型 将所有元件以相 量形式表示：
I
I
R －
+ U
jXL
U +
－
I
jXC －
+ U
2．阻抗的性质 Z R jX | Z | z
u
则代表它们的相量分别为： U U
I I
i
1、电阻元件
电阻元件伏安关系：u=Ri 有：
RI U
U 、 I I 代入，得： 将U u i
U u RI i
U RI u i
i
R －
I
U
θ u =θ i
+ u
553.1 5 228.8 5 245A 536.9 1 j1 Z1 I I 5 228.8 2 Z1 Z 2 1 j1 3 j 4
45°
I
I2
28.8° U －53.1°
u、i
u i O (a) u 与 i 同相
ωt
u、i
u i O (b) u 超前 i
ωt
u、i
u
i
ωt
u、i
u i O (d) u 与 i 正交
ωt
O (c) u 与 i 反相
0 ，u 与 i 同相。 0 ，u 超前 i，或 i 滞后 u。 ，u 与 i 反相。
，u 与 i 正交。 2
U 2
Z1 U Z1 Z 2
Z2 U Z1 Z 2
Z1 Z 2 Z Z1 Z 2 Z2 I1 I Z1 Z 2 Z1 I2 I Z1 Z 2
例 ： 图 示 电 路 ， Z 1 (6.16 j 9) Ω ， 10030 V，求总电流 + Z ( 2 .5 j 4 ) Ω ， U
相量法是求解正弦稳态电路的简单方法。
2.2.1 复数及其运算
复数A可用复平面上的有向线段来表 +j 示。该有向线段的长度a称为复数A的 a2 模，模总是取正值。该有向线段与实 轴正方向的夹角θ称为复数A的辐角。 O
a
θ
A a1 +1
复数A的实部a1及虚部a2与 模a及辐角θ的关系为：
a1 a sin
(a) 电阻元件伏安关系：u L dt
2、电感元件
根据相量运算的规则1、规则3和规则4 ，有： jLI jX I U L
U 、 I I 代入，得： 将U u i
U u jLI i LI( i 90)
u i 90
i L + u － (a) 电感元件
U
θ u θ i
U LI X L I
I
感抗：XL=ωL，与频率成正比。
(b) 相量图
du iC 电感元件伏安关系： dt
3、电容元件
根据相量运算的规则1、规则3和规则4 ，有： jCU I i C
2.1.3 振幅与有效值
振幅：正弦量的最大值 周期电流有效值：让周期电流 i和直流电流 I分 别通过两个阻值相等的电阻R，如果在相同的 时间T内，两个电阻消耗的能量相等，则称该 直流电流I的值为周期电流i的有效值。
T 2 根据有效值的定义有： I 2 RT 0 i Rdt
周期电流的有效值为： I
2.1.2 相位、初相和相位差
相位：正弦量表达式中的角度 初相：t=0时的相位 相位差：两个同频率正弦量的相位之差，其 值等于它们的初相之差。如
u U m sin(t u )
i I m sin(t i ) 相位差为： (t u ) (t i ) u i
Z1 Z 2 1 j1 3 j 4 5 28.1 2 28.8 536.9 U 100 I 5 228.8A Z 2 28.8
I 1
1
2
4 j3
I + I 1 Z1 U
I 2
Z2
－
I 1
Z2 3 j4 I 5 228.8 Z1 Z 2 1 j1 3 j 4
A B ae
j 1
be
j 2
abe
j ( 1 2 )
ab(1 2 )
A ae j 1 a j ( 1 2 ) a j e (1 2 ) B be 2 b b
2.2.2 正弦量的相量表示法
将复数Im∠θi乘上因子1∠ωt，其模不变， 辐角随时间均匀增加。即在复平面上以角速 度ω逆时针旋转，其在虚轴上的投影等于 Imsin(ωt + θi )，正好是用正弦函数表示的正 弦电流i。可见复数Im∠θi与正弦电流 i=Imsin(ωt + θi )是相互对应的关系，可用复数 Im∠θi来表示正弦电流i，记为：
U 、 I I 代入上式，得： 将U u i
I i jCU u CU( u 90)
+ u (a)
I
θ i
－
U
θ u
I CU i u 90
C
电容元件
j 1 I jX I 或 U C
容抗：XC=1/ωC，与频率成反比。
U 55.6°
30° －58°
U 2
I
例 ： 图 示 电 路 ， Z 1 (1 j1) Ω ， 100 V，求总电流 I Z 2 (3 j 4) Ω ， U 和I ，并画出相量图。 及各阻抗的电流 I
解： Z Z1Z 2 (1 j1)(3 j 4) 7 j1
2.4.1 阻抗的串联与并联
1．阻抗的定义
定义无源二端网络端口电压相量和端口电流相 量的比值为该无源二端网络的阻抗，并用符号Z 表示，即：
U Z m I m
I
+
无源 二端 网络 无源二端网络
U
I
或
U
+
Z －
U Z I
－ (a)
(b)
等效电路
或
ZI U m m
代数型 三角函数型 指数型
j
a
极坐标型
复数的四则运算： 设两复数为： A a1 ja2 a1
B b1 jb2 b 2
(1)相等。若a1=b1，a2=b2，则 A=B。 (2)加减运算：
A B (a1 b1 ) j (a2 b2 )
(3)乘除运算：
电阻
| Z | R X
2 2
电抗
X z arctg R X | Z | sin z
阻抗模
阻抗角
R | Z | cos z
U U U u Z ( u i ) I i I I
U Um | Z | I Im
z 0 电压超前电流，感性
1 T 2 0 i dt T
对于正弦电流，因
i (t ) I m sin(t i )
所以正弦电流的有效值为：
I
1 T T 2 2 0 I m sin (
t i)dt
Im 2
0.707 I m
同理，正弦电压的有效值为：
U Um 2 0.707U m
2.2 正弦交流电的相量表示法
2
I
及各阻抗的电压 U 和U ，并画出相量图。 I 1 2
U
Z1
U 1
+
解： Z Z1 Z 2 6.16 j 9 2.5 j 4
8.66 j 5 1030
10030 U I 100A Z 1030
－
Z2 U 2 －
45° U
I
－45°
U C
2.4 R、L、C元件串联的交流通路
将正弦交流电路中的电压、电流用相 量表示，元件参数用阻抗来代替。运用基 尔霍夫定律的相量形式和元件欧姆定律的 相量形式来求解正弦交流电路的方法称为 相量法。运用相量法分析正弦交流电路时， 直流电路中的结论、定理和分析方法同样 适用于正弦交流电路。
j i I m I me I m i
并称其为相量。
+j Im O
θ i
ω
i
Im O
ωt
+1
θ i
(a) 以角速度ω 旋转的复数
(b) 旋转复数在虚轴上的投影
正弦量
相量
i I m sin(t i ) 2 I sin(t i )
u U m sin(t u ) 2U sin(t u )
(b)
相量图
例：图示RC串联电路，R=100Ω，C=100μF， us=100 2 sin100tV，求i、uR和uC，并画出相量图。
1000V 解：U s
XC 1 1 100 6 C 100 100 10
i
+
－
+
R C uR －
us
+
U U U s R C
a2 a cos
2 a2
+j a2 O
a
θ
A a1 +1
a
2 a1