基本初等函数题型总结
题型1 指数幂、指数、对数的相关计算
【例1】 计算： (1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245；(2)lg 25＋23
lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2. （3）353log 1+－232log 4+＋103lg3＋⎝⎛⎭⎫1252log .
变式：
1.计算下列各式的值：
(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2； (2)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27
. (3)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋(lg 2 3)2＋lg 16＋lg 0.06.
题型2指数与对数函数的概念
【例1】（1）若函数y ＝(4－3a )x 是指数函数，则实数a 的取值范围为________．
（2）指数函数y ＝(2－a )x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．
（3）函数y ＝a x －5＋1(a ≠0)的图象必经过点________．
题型3 指数与对数函数的图象
【例1】如图是指数函数①y ＝a x ，②y ＝b x ，③y ＝c x ，④y ＝d x 的图象，则a ，b ，c ，d
与1的大小关系是( ）
A ．a ＜b ＜1＜c ＜d
B ．b ＜a ＜1＜d ＜c
C ．1＜a ＜b ＜c ＜d
D ．a ＜b ＜1＜d ＜c
【例2】函数y ＝2x
＋1的图象是( )
【例3】函数y ＝|2x －2|的图象是( )
【例4】直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．
【例5】方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是____________．
变式：
1.如图所示，曲线是对数函数y ＝log a x 的图象，已知a 取3，43，35，110，则相应于c 1，c 2，c 3，c 4的a 值依次为( )
A.3，43，35，110
B.3，43，110，35
C.43，3，35，110
D.43，3，110，35
2.函数y ＝log a (x ＋2)＋1的图象过定点( )
A ．(1,2)
B ．(2,1)
C ．(－2,1)
D ．(－1,1)
3.如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )
A ．0＜a ＜b ＜1
B ．0＜b ＜a ＜1
C ．a ＞b ＞1
D ．b ＞a ＞1
4.函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5.函数y ＝x 3
3x －1
的图象大致是( )
题型4指数与对数型函数的定义域、值域、单调性、奇偶性
例 1函数f (x )＝1－2x ＋1x ＋3的定义域为____________． 2判断f (x )＝
x -x ）（2231的单调性，并求其值域．
3设0≤x ≤2，y ＝4
21-x －3·2x ＋5，试求该函数的最值．
4求y ＝(log 21x )2－12log 2
1x ＋5在区间[2,4]上的最大值和最小值．
变式：
(1)函数f (x )＝11－x
＋lg(1＋x )的定义域是( ) A ．(－∞，－1) B ．(1，＋∞) C ．(－1,1)∪(1，＋∞) D ．(－∞，＋∞)
(2)若f (x )＝1log 21
(2x ＋1)
，则f (x )的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，0 B.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫－12，0∪(0，＋∞) D.⎝⎛⎭
⎫－12，2 3.求下列函数的定义域与单调性．
(1)y ＝log 2(x 2－4x －5)； (2)y ＝log 0.5(4x －3)
4.讨论函数f (x )＝log a (3x 2－2x －1)的单调性．
5.函数f (x )＝|log 2
1x |的单调递增区间是( )
A.⎝⎛⎦
⎤0，12 B ．(0,1] C ．(0，＋∞) D ．[1，＋∞) 6.已知x ∈[2.8]，求函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫log 2x 4·⎝⎛⎭
⎫log 2x 2的最大值和最小值．
7.已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值以及y 取最大值时x 的值．
题型5 指数与对数基本性质的应用
【例1】求下列各式中x 的值：
(1)log 2(log 4x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log (
2－1)12＋1
＝x .
【例2】比较下列各组中两个值的大小：
(1)ln 0.3，ln 2； (2)log a 3.1，log a 5.2(a ＞0，且a ≠1)；
(3)log 30.2，log 40.2； (4)log 3π，log π3.
变式：
(1)设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则( )
A ．a ＞c ＞b
B ．b ＞c ＞a
C ．c ＞b ＞a
D ．c ＞a ＞b
(2)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )
A ．a ＞b ＞c
B ．a ＞c ＞b
C ．b ＞a ＞c
D ．c ＞a ＞b
3.设a ＝log 213，b ＝⎝⎛⎭⎫130.2，c ＝231，则( )
A ．a ＜b ＜c
B ．c ＜b ＜a
C ．c ＜a ＜b
D ．b ＜a ＜c
4.已知0＜a ＜1，x ＝log a 2＋log a 3，y ＝12
log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( ) A ．x ＞y ＞z B ．z ＞y ＞x C ．y ＞x ＞z D ．z ＞x ＞y
5.若函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧ a x ，x ＞1，(4－a 2)x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)
题型6 指数与对数函数的综合应用
【例1】已知函数f (x )＝log a x ＋1x －1
(a ＞0且a ≠1)， (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数的奇偶性和单调性．
2已知函数f (x )＝log a 1－mx x －1
(a ＞0，a ≠1，m ≠1)是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)探究函数f (x )在(1，＋∞)上的单调性．
题型7方程的根与函数的零点
【例1】已知函数f (x )＝x 2－2x －3，x ∈[－1,4]．
(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并写出其值域；
(2)当m 为何值时，函数g (x )＝f (x )＋m 在[－1,4]上有两个零点？
【例2】在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．
【例3】设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0，－x ，x <0. (1)f (x )有零点吗？
(2)设g (x )＝f (x )＋k ，为了使方程g (x )＝0有且只有一个根，k 应该怎样限制？
(3)当k ＝－1时，g (x )有零点吗？如果有，把它求出来，如果没有，请说明理由．
变式（1）若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，则实数m 的取值是________．
（2）函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________．
(3)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点近似值的是( )
题型8 探究与创新
【例1】(1)求2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1的值；
(2)若log 2[log 3(log 4x )]＝0，log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．
【例2】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧
a ，a －
b ≤1，b ，a －b ＞1，设函数f (x )＝(x 2－2)*(x －1)，x ∈R ，若方程f (x )＝
c 恰有两个不同的解，则实数c 的取值范围是________．
【巩固训练】
1.化简(log 23)2－4log 23＋4＋log 213
，得( ) A ．2 B ．2－2log 23 C ．－2 D ．2log 23－2
2.若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域为R ，则( )
A ．f (x )与g (x )均为偶函数
B ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数
C. f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数
3.若函数f (x )＝ 2a -ax x 22+－1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．
4.lg 5＋lg 20的值是________．
5.已知2m ＝5n ＝10，则1m ＋1n
＝________.。