第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
解：取ε的正方向为Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为θεεcos ˆ212ˆˆ22D L ID I L H -=⋅-= 取θεcos ˆ ,ˆ21ˆ2)0(D H L I H-='=，则 H H H'+=ˆˆˆ)0( 由于电场较小，又把H'ˆ视为微扰，用微扰法求得此问题。
)0(ˆH 的本征值为2(()))1(21+=IE 本征函数为 ),()0(ϕθψm Y =)0(ˆH的基态能量为000=）（E ，为非简并情况。
根据定态非简并微扰论可知 ∑-''= )0()0(02)2(0H E E E ⎰⎰-='='ϕθθθετψψd d Y D Y d H H m sin )cos (ˆ00*)0(0)0*(0 ⎰-=ϕθθθεd d Y Y D m sin ) (cos 00* ⎰-=ϕθθππεd d Y Y D m sin 413410*⎰-=ϕθθd d Y Y sin 310*013δεD -=I D ID E E E 22221222')0()0(02')2(031)1(32 Hεδε-=+⋅-=-'=∑∑ #5.3 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H'ˆ的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112，；b a 、都是实数。
用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得nnn H E '=)1( ∑-'=mmn mnnE E H E )0()0(2')2(得 b H E b H E ='=='=22)1(0211)1(01 0201200121')2(01E E a E E H Emmm -=-'=∑0102200221')2(02E E a E E H Emmm-=-'=∑∴ 能量的二级修正值为02012011E E a b E E -++=01022022E E a b E E -++=#5.4设在0=t 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。
设单色光的电场可以近似地表示为t sin ωε，ε及 ω均为零；电离电子的波函数近似地以平面波表示。
求这单色光的最小频率和在时刻t 跃迁到电离态的几率。
解：①当电离后的电子动能为零时，这时对应的单色光的频率最小，其值为241min min 2s e E E hv μω=-==∞he v s 24min 2 μ=34191062.6106.16.13--⨯⨯⨯=Hz 15103.3⨯=②0=t 时，氢原子处于基态，其波函数为0/301a r k e a -=πφ 在t 时刻， rp i m e⋅=2/3)21(πφ 微扰 )(2sin )(ˆ t i ti e e ir e t r e t Hωωεωε--⋅=⋅=')(ˆ t i t i e e Fωω--= 其中ir e F 2ˆ ⋅=ε 在t 时刻跃迁到电离态的几率为2)(t a W m m k =→⎰''='tt i mk m t d e H i t a mk 01)(ω ⎰'-='-'+t t i t i mk t d e e i F mk mk 0)()()(ωωωω]11[)()(ωωωωωωωω---+--=-+mk t i mk t i mk mk mk e e F对于吸收跃迁情况，上式起主要作用的第二项，故不考虑第一项，ωωωω--=-mk t i mk m mk e F t a 1)()(2)()(222)()1)(1()(ωωωωωω---==--→mk t i t i mk m m k mk mk e e F t a W 222122)()(sin 4ωωωω--=mk mk mk tF其中⎰⎰-==ππτφφead F F i k mmk 32/3*1)21(ˆ取电子电离后的动量方向为Z 方向，取ε 、p所在平面为xoz 面，则有 z y x r z y x εεεε++=⋅cos )(cos ()cos sin )(sin (αεϕθαεr r += θαεϕθαεcos cos cos sin sin r r +=⎰--+=τθαεϕθαεππθd e r r e i e a F a r r p imk 0/cos 302/3)cos cos cos sin sin (21)21(⎰⎰⎰∞--+=0202/cos 302/3 sin )cos cos cos sin sin ( 21)21(0ππθϕθθθαεϕθαεππd drd r e r r ei e a F a r r p imk⎰⎰⎰∞--=0020/3cos 302/3 )sin cos cos (21)21(0ππθϕθθθαεππd drd e r e i e a a r r p i⎰⎰-∞-=πθθθθπαεππ0cos 0/3302/3 sin cos [22cos 1)21(d e dr e r i e a r p ia r⎰∞----++-=222/33)]()([22cos 0dr e e rp e e ipr er a i e r p ir p i r p i r p i a rπαε 32220030)1(11622cos p a ia p a i e +=παε322202/70)(8)(cos 16 +-=p a a pe παε∴ 222122)()(sin 4ωωωω--=→mk mk mk m k tF W22126222025702222)()(sin )(cos 128ωωωωπαε--+=mk mk t p a a e p #5.5基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降，即⎩⎨⎧≥≤=-)(0,0,0/0为大于零的参数当当τεετt e t t求经过长时间后氢原子处在2p 态的几率。
解：对于2p 态，1= ，m 可取1 ,0±三值，其相应的状态为 121211210 -ψψψ氢原子处在2p 态的几率也就是从100ψ跃迁到121211210 -ψψψ、、的几率之和。
由 ⎰''='tt i mkm t d e H i t a mk 01)(ω⎰'='τψψd H H 100*210100,210ˆ )cos )(ˆ(θεr t e H =' ⎰=τθεd Y R r t e Y R 0010*1021 cos )( (取ε 方向为Z 轴方向)⎰∞=ππϕθθθε200*10010321 sin cos )(d d Y Y dr R r R t eft e d d Y Y f t e )(31 sin 31)(2010*10εϕθθεππ==⎰⎰00310*21681256)()(a dr r r R r R f ==⎰∞⎰∞-⋅=02342/3002/300)1(32)21(dr e r a a a r a0505540681256324161a a a =⨯⋅=！ f t e d H H )(31ˆ100*210100,210ετψψ='='⎰ 00)(24321286812563)(a t e a t e εε==⎰∞='0100*211100,211cos )(τθψψεd r t e H⎰⎰⎰∞=ππϕθθθε20000*11010321 sin cos )(d d Y Y dr R r R t e ⎰⎰⎰∞=ππϕθθε20010*11010321 sin 31)(d d Y Y dr R r R t e= 0⎰'='--τψψd H H 100*121100,121ˆ ⎰⎰⎰-∞=ππϕθθθε02000*11010321 sin cos )(d d Y Y dr R r R t e⎰⎰⎰-∞=ππϕθθε02010*11010321 sin 31)(d d Y Y dr R r R t e= 0由上述结果可知，0211100=→W ， 0121100=-→W ∴ 12110021110021010021-→→→→++=W W W W p s 2100,2102210100211⎰''=='→tt i t d eH W ω2/2002221)()243128(2⎰'='-'tt t i t d eeea τωε22212202022211)243128(221τωετω+-=-tt i ea e当∞→t 时，222120202222111)243128(2τωεω+=→a e p s其中02343412218 38 3)411(2 )(1a e e e E E s s s==-=-=μμω #5.6计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。