建筑力学
第三章 平面力系的平衡方程
3.1平面力系的简化
M2
M1
FR
M3
向任一点O简化
平面力系 （未知力系）
平面汇交力系：力（主矢量）：FR=F
（已知力系） (作用在简化中心)
平（面已力知偶力系系）力偶(作（用主在矩该）平：面M上o=)M
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一般情况：
主矢 : FR ' F1 F2 F3 Fi
FAy
FBC
A

FAx
l/2 a
P
B Q
l
MB (Fi ) 0 MC (Fi ) 0
l FAyl P 2 Q(l a) 0
FAx l

tg

P
l 2

Qa

0
FAy 2.1kN
FAx 11.4kN
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[例] 已知：P=20kN, M=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m
20 20 0.8 12
12(kN)
24(kN)
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FAy FAx
FB
静定（未知数三个）
FAy FAx
FBy FBx
静不定（未知数四个）
独立方程数目≥未知数数目时，是静定问题（可求解） 独立方程数目<未知数数目时，是静不定问题（超静定问题）
静不定问题在材料力学,结构力学,弹性力学中 用变形协调条件来求解。
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
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主矩MO （转动效应）
大小：MO MO (Fi )
方向： 方向规定 + —
简化中心： (与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
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简化结果分析 合力矩定理
简化结果： 主矢FR'，主矩 MO ，下面分别讨论。 ① FR' =0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② FR' =0, MO≠0，即简化结果为一合力偶, M=MO 此时
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[例] 已知：q， a , P=qa, M=Pa，求：A、B两点的支座反力？
解：① 选AB梁为研究对象。
② 画受力图
qP
FAy
qP
FB
A
B
M
2a
a
FAx
A
M
B
列平衡方程，求未知量。
Fx 0
Fy 0
FAx 0
FB FAy P 2qa 0,
M A(Fi ) 0
FAx
FBC
sin

l

P

l 2

Qa

0
FAy
FBC
A

l/2 P
B Q
a
l
FBC (Pl / 2 Qa) /(l sin ) 13.2kN
Fx 0
Fy 0
FAx FBC cos 0
FAx FBC cos 11.4kN
求：A、B的支反力。
q FA M FB
解：研究AB梁
P
MA(F ) 0;
A
B
a
a
a
FB

a

q

a

a 2

M

P

2a

0
Fy 0
FA FB qa P 0
FB

qa 2

M a
2P
20 0.8 16 2 20
2
0.8
FA P qa FB
a
l
MB (Fi ) 0
l FAyl P 2 Q(l a) 0
FAy 2.1kN
Fx 0
FAx FBC cos 0
FAx 11.4kN
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M A(Fi ) 0
FBC
sin

l

P

l 2

Qa

0
FBC 13.2KN
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[例] 已知：Q=7.5kN, P=1.2kN , l=2.5m , a=2m , =30o , 求：
BC杆拉力和铰A处的支座反力？
解：（1）选AB梁为研究对象。
C
（2）画受力图
FAy
FBC
A

FAx
l/2 P
B Q
a
l
A

l/2 P
B Q
a
l
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（3）列平衡方程，求未知量。
4qa FAy 3
M A (Fi ) 0 P 2a q 2a a M FB 3a 0
5qa FB 3
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平面力系的平衡方程:
① 基本式（一矩式） ②二矩式
③三矩式
Fx 0
Fy 0
Fx 0 M A(Fi ) 0
主矩： MO M1 M2 M3
MO (F1) MO (F2) MO (Fi )
大小：FR ' F 'Rx2 F 'Ry2 ( Fx )2 ( Fy )2
主矢 FR'
（移动效应）
方向： tan1 FRy
FRx
tan1
Fy Fx
M A(Fi ) 0 MB (Fi ) 0
MO (Fi ) 0
MB (Fi ) 0
MC (Fi ) 0
条件：x 轴不垂直 于AB连线
条件：A,B,C不在 同一直线上
只有三个独立方程，只能求出三个未知数。
投影轴和矩心是任意选取的，一般先取矩。矩心选 择在多个未知力的交点上；投影轴尽量与未知力垂 直或平行。
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物系平衡问题的特点： ①物体系统平衡，物系中每个单体也是平衡的。 ②每个单体可列3个（平面任意力系）平衡方程，整个系统
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续
简化为一个合力 FR。
FR FR FR
FR'
M0 FR d
FR'FR源自FRFR合力的大小等于原力系的主矢 FR FR' F
合力的作用线位置
d MO FR
结论：平面力系的简化结果 ：①合力偶MO ； ②合力 FR
刚体等效于只有一个力偶的作用，（因为力偶可以在刚 体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。）
③ FR≠' 0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时， 简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR'。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
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FAy FBC sin P Q 0 FAy P Q FBC sin 2.1kN
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（3）列平衡方程，求未知量。
M A(Fi ) 0
FAx
FBC
sin

l

P

l 2

Qa

0
FBC 13.2KN
FAy
FBC
A

l/2 P
B Q