向量的线性运算经典测试题及答案解析一、选择题1．若2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，a r 与r b 是（ ）A ．a r 与r b 是相等向量B ．a r 与r b 是平行向量C ．a r 与r b 方向相同，长度不等D ．a r 与r b 方向相反，长度相等【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求得52a c =r r ，1b 2c =-r r，由此确定a r 与b r 位置和数量关系．【详解】解：由2a b c +=r r ，3a b c -=r r ，而且c r ≠0，得到：52a c =r r ，1b 2c =-r r ，所以a r 与b r 方向相反，且|a r|＝5|b r |．观察选项，只有选项B 符合题意． 故选：B ． 【点睛】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，注意对平面向量这一基础概念的熟练掌握．2．下列命题中，真命题的个数为( ) ①方向相同 ②方向相反 ③有相等的模 ④方向相同 A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】 【分析】直接利用向量共线的基本性质逐一核对四个命题得答案. 【详解】 解：对于①，若，则方向相同，①正确； 对于②，若，则方向相反，②正确； 对于③，若，则方向相反，但的模不一定，③错误； 对于④，若，则能推出的方向相同，但的方向相同，得到④错误. 所以正确命题的个数是2个，故选:C. 【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查了向量共线的基本性质，是基础题.3．如图，已知向量a r，b r，c r,那么下列结论正确的是（ ）A ．a b c +=rrrB ．b c a +=rr rC ．a c b +=rr rD ．a c b +=-r r r【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由平行四边形法则，即可求得： 解：∵CA AB CB +=u u u r u u u r u u u r， 即a c b +=-r r r 故选D ．4．下列判断正确的是( )A ．0a a -=r rB ．如果a b =r r ，那么a b =r rC ．若向量a r 与b 均为单位向量，那么a b =r rD ．对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么//a b r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念、性质以及向量的运算即可得出答案. 【详解】A. -r ra a 等于0向量，而不是等于0，所以A 错误；B. 如果a b =r r，说明两个向量长度相等，但是方向不一定相同，所以B 错误；C. 若向量a r 与b 均为单位向量，说明两个向量长度相等，但方向不一定相同，所以C 错误；D. 对于非零向量b r，如果()0a k b k =⋅≠r r ，即可得到两个向量是共线向量，可得到//a b r r，故D 正确.故答案为D. 【点睛】本题考查向量的性质以及运算，向量相等不仅要长度相等，还要方向相同，向量的运算要注意向量的加减结果都是一个向量.5．已知1,3a b ==r r ，而且b r 和a r 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．3a b =r r B ．3a b =-r r C ．3b a =r rD ．3b a =-r r . 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题． 【详解】∵1,3a b ==v v ，而且b v 和a v 的方向相反 ∴3b a v v =-.故选D ． 【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识．6．已知3a →=，2b =r，而且b r和a r的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A ．32a b →→= B ．23a b →→=C ．32a b →→=-D ．23a b →→=-【答案】D 【解析】 【分析】根据3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v的方向相反 ∴32a b =-v v故选D. 【点睛】本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.7．以下等式正确的是（ ）． A ．0a a -=r rB ．00a ⋅=rC ．()a b b a -=--rr r rD ．km k m =r r【答案】C 【解析】根据平面向量的运算法则进行判断． 【详解】解：A. 0a a -=rr r，故本选项错误； B. 00a ⋅=rr，故本选项错误；C. ()a b b a -=--rr r r ，故本选项正确；D. km k m =⋅r r，故本选项错误.故选：C. 【点睛】考查了平面向量的有关运算，掌握平面向量的性质和相关运算法则是关键．8．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）． ①0m <，0a ≠rr时，ma r 与a r的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠rr时，ma r 与a r是平行向量； ③0mn >，0a ≠rr时，ma r 与na r的方向一定相同；④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【解析】 【分析】根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】解：①因为0m <，1＞0，0a ≠rr，所以ma r 与a r的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠rr，所以ma r 与a r是平行向量，故②正确；③因为0mn >，0a ≠rr，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠rr，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.9．已知向量，若与共线，则( )A ．B ．C ．D ．或【答案】D 【解析】 【分析】 要使与，则有=，即可得知要么为0，要么，即可完成解答.解：非零向量与共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数，使=,即；与任一向量共线.故答案为D. 【点睛】本题考查了向量的共线，即=是解答本题的关键.10．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=rr rB ．a b b a +=+r rrrC ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行D ．如果a b =r r ，那么a b =r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可． 【详解】A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r，所以选项B 正确；C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r，所以选项C 正确；D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r 方向不同，则a b ≠r r，所以D 选项错误.故选D. 【点睛】本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.11．已知a r 、b r 、c r 都是非零向量，如果2a c =r r ，2b c =-r r，那么下列说法中，错误的是（ ）A ．//a b r rB ．a b =r rC ．72BD =D ．a r 与b r方向相反【答案】C 【解析】 【分析】利用相等向量与相反向量的定义逐项判断即可完成解答. 【详解】解：已知2a c v v ＝，2b c -v v ＝，故a b v v ，是长度相同，方向相反的相反向量，故A ,B ,D 正确，向量之和是向量，C 错误， 故选C. 【点睛】本题主要考查的相等向量与相反向量，熟练掌握定义是解题的关键；就本题而言，就是正确运用相等向量与相反向量的定义判断A 、B 、D 三项结论正确.12．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =rr,AD b =r r ，那么向量OC r可以表示为. ( )A ．1122a b +r rB．1122r r a b -C ．1122a b -+rrD ．1122a b --rr【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可.【详解】 由题意可得()()1111122222OC AC AD AB a b a b ==+=+=+r rr r r r r r【点睛】本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.13．如图，向量OA u u u r 与OB uuu r 均为单位向量，且OA ⊥OB ，令n r =OA u u u r +OB uuu r ，则||n v=（ ）A ．1B 2C 3D ．2【答案】B 【解析】根据向量的运算法则可得:n v ()222OA OB +=u u u v u u u v 故选B.14．如果a b c +=r r r ，3a b c -=r r r，且0c ≠r r ，下列结论正确的是A ．=a b r rB ．20a b +=r rC ．a r与b r方向相同 D ．a r与b r方向相反【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的性质进行计算判断即可. 【详解】解：将a b c +=r r r 代入3a b c -=r r r ，计算得：-2a b =r r（方向相反）.故选：D 【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.15．已知一个单位向量e v ，设a v 、b v是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）．A ．1a e a=r r r ；B ．e a a =r r r ；C ．b e b =r r r ；D ．11a b a b=r r r r ．【答案】B 【解析】 【分析】长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解． 【详解】解：A 、左边得出的是a 的方向不是单位向量，故错误；B 、符合向量的长度及方向，正确；C 、由于单位向量只限制长度，不确定方向，故错误；D 、左边得出的是a 的方向，右边得出的是b 的方向，两者方向不一定相同，故错误．故选：B ． 【点睛】本题考查了向量的性质．16．已知点C 是线段AB 的中点，下列结论中，正确的是（ ）A ．12CA AB =u u u r u u u rB ．12CB AB =u u u r u u u rC ．0AC BC u u u r u u u r +=D ．0AC CB +=u u u r u u u r r【答案】B 【解析】根据题意画出图形，因为点C 是线段AB 的中点，所以根据线段中点的定义解答．解：A 、12CA BA =u u u r u u u r，故本选项错误；B 、12CB AB =u u u r u u u r，故本选项正确；C 、0AC BC +=u u u r u u u r r，故本选项错误；D 、AC CB AB +=u u u r u u u r u u u r，故本选项错误．故选B ．17．已知a r 、b r 和c r 都是非零向量，在下列选项中，不能判定a r ∥b r的是（ ）A ．=a b r rB ．a r ∥c r ，b r ∥c rC ．a +b r ＝0D ．a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r【答案】A 【解析】 【分析】根据方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A 、该等式只能表示两a r 、b r的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意； B 、由a r ∥c r ，b r ∥c r 可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；C 、由a r +b r ＝0可以判定a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；D 、由a r +b r ＝2c r ，a r ﹣b r ＝3c r ，得到a r ＝52c r ，b r ＝﹣12c r，则a r 、b r 的方向相反，可以判定a r ∥b r，故本选项不符合题意；故选：A ． 【点睛】本题主要考查了平行向量，掌握平行向量是解题的关键.18．设,m n 为实数，那么下列结论中错误的是（ ）A ．m na mn a r r（）＝（）B ．m n a ma na ++r r r（）＝ C ．m a b ma mb +r r r r （+）＝D ．若0ma =r r，那么0a =r r【答案】D 【解析】 【分析】空间向量的线性运算的理解：（1）空间向量的加、减、数乘运算可以像代数式的运算那样去运算；（2）注意向量的书写与代数式的书写的不同，我们书写向量的时候一定带上线头，这也是向量与字母的不同之处；（3）虽然向量的线性运算可以像代数式的运算那样去运算，但它们表示的意义不同． 【详解】根据向量的运算法则，即可知A （结合律）、B 、C （乘法的分配律）是正确的，D 中的0v是有方向的，而0没有，所以错误．解：∵A 、B 、C 均属于向量运算的性质，是正确的； ∵D 、如果a v =0v ，则m=0或a v =0v．∴错误． 故选D ． 【点睛】本题考查的知识点是向量的线性运算，解题关键是熟记向量的运算法则.19．已知向量a r和b r都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）A ．a b =r rB ．2a b +=r rC ．0a b -=r rD ．a b =rr【答案】D 【解析】 【分析】根据向量a r和b r都是单位向量，，可知|a r|＝|b r|＝1，由此即可判断． 【详解】解：A 、向量a r 和b r 都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =r r 不一定成立，故本选项错误．B 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=rr不一定成立，故本选项错误．C 、向量a r和b r都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=rr不一定成立，故本选项错误．D 、向量a r 和b r 都是单位向量，则|a r|＝|b r |＝1，故本选项正确．故选：D ． 【点睛】本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键20．下列式子中错误的是（ ）．A ．2a a a +=r r rB ．()0a a +-=r r rC ．()a b a b -+=--r r r rD ．a b b a -=-r r r r【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的定义是既有大小又有方向的量，及向量的运算法则即可分析求解． 【详解】A. a r 与a r 大小、方向都相同，∴2a a a +=r r r，故本选项正确；B. a r与a -r 大小相同，方向相反，∴()0a a +-=r r r ，故本选项正确；C.根据实数对于向量的分配律，可知()a b a b -+=--r r r r，故本选项正确；D.根据向量的交换律，可知a b b a -=-+r r r r，故本选项错误.故选D. 【点睛】本题考查向量的运算，掌握运算法则及运算律是解题的关键.。