2014竞赛讲座
专题1.参考系 相对运动与连接体的速度关联
〖典型例题〗
（1）灵活利用参考系解决物理问题，尤其是涉及两个物体的运动问题
【例1】t =0时刻从水平地面上的O 点在同一铅垂面上同时朝图示的两个方向发射初速率分别为v A =10m/s 和v B =20m/s 的两个质点A 、B ，试问t=1s 时A 、B 相距多远?
（2）速度变换关系：A C A B B C v v v →→→=+
【例2】如图所示, 一列相同汽车以等速度V 沿宽度为C 的直公路行驶,每车宽为b ,头尾间距为a 则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少?
【例3】超声波流量计是利用液体流速对超声波传播速度的影响来测量液体流速，再通过流速来确定流量的仪器。
一种超声波流量计的原理示意图如图所示。
在充满流动液体（管道横截面上各点流速相同）管道两侧外表面上P 1和P 2处（与管道轴线在同一平面内），各置一超声波脉冲发射器T 1、T 2和接收器R 1、R 2。
位于P 1处的超声波脉冲发射器T 1向被测液体发射超声脉冲，当位于P 2处的接收器R 2接收到超声脉冲时，发射器T 2立即向被测液体发射超声脉冲。
如果知道了超声脉冲从P 1传播到P 2所经历的时间t 1和超声脉冲从P 2传播到P 1所经历的时间t 2，又知道了P 1、P 2两点间的距离l 以及l 沿管道轴线的投影b ，管道中液体的流速便可求得u 。
试求u 。
（3）连接体的速度关联
【例4】两只小环O 和O '分别套在静止不动的竖直杆AB 和B A ''上。
一根不可伸长的绳子，一端系在A '点上，绳子穿过环O ',另一端系在环O 上。
如图所示，若环O '以恒定速度V 1沿杆向下运动,∠ AO O '=α。
求环O 的运动速度为多大?
v A
v B 40° 80° o P 1T 1R 1
u
P 2T 2R 2
【例5】如图所示，AB杆的A端以匀速V运动，在运动时杆恒与一水平半圆相切，半圆的半径为R，当杆与水平线的交角为θ时，求杆的角速度及杆上与半圆相切点C的速度和杆与圆柱接触点C1的速度的大小。
（4）用微元法求物体的速度加速度
【例6】A、B、C三质点同时从边长为L的等边三角形三顶点A、B、C出发，以相同的不变速率v运动，运动中始终保持A朝着B，B朝着C，C朝着A，则经过时间t=_______后三质点相遇，当他们开始运动时加速度大小a=________________。
（5）利用导数示物体的速度加速度
【例7】如图所示，水平高台上有一小车，水平地面上有一拖车，两车之间用一根不可伸长的绳跨过定滑轮相连。
拖车从滑轮正下方以恒定速度沿直线运动，则在拖车行进的过程中，小车的加速度?
A.?逐渐减小? B．逐渐增大?
C．先减小后增大? D．先增大后减小?
【例8】如图所示，一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右做加速度为a的匀
加速度直线运动，在半圆柱体上放置一个竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动。
当半圆柱体的速度为v时，杆与半圆柱体接触点P与圆柱柱心的连线OP，与竖直方向的夹角为θ，求此时竖直杆运动的速度和加速度。
P
O
【例9】一半径为R的半圆柱面在水平面上向右做加速度为a的匀加速运动，在柱面上有一系在水平绳子自由端的小球
P，绳子的另一端固定在墙面上。
如图所示，当小球相对于半圆柱面的角位置为θ时，半圆柱面的速度为v，求此时小球的速率和加速度的大小。
【例10】在如图所示的系统中，滑轮与线的质量可忽略不计，线不可伸长，滑轮的大小正好使图中的线是竖直的。
问图中两物块M 和m 的加速度分别为多少？线上有点A ，如图所示，该点的加速度为多少？
专题2.抛体运动、一般的曲线运动与天体运动
〖典型例题〗
（1）熟练运用基本规律，灵活运动特殊规律
【例1】大炮在山脚直接对着倾角为α的山坡发射炮弹，炮弹初速度为V 0，要在山坡上达到尽可能远的射程，则大炮的瞄准角度为多少？最远射程为多少？
【例2】在掷铅球时，铅球出手时距地面的高度为h ，若出手时速度为V 0，求以何角度掷球时，水平射程最远？最远射程为多少？
（2）巧妙运动矢量的合成与分解
【例3】有一只狐狸以不变的速度v 1沿直线AB 逃跑，一只猎犬去追击。
（1）若猎犬以不变的速度追击。
某时刻狐狸在A 处，猎犬在D 处，且FD⊥AB，FD=a ，AF=b ，如图所示。
试求猎犬追上狐狸的最小速度。
（2）若猎犬以不变的速率v 2追击，且其运动方向始终对准狐狸。
某时刻狐狸在F 处，猎犬在D 处，且FD⊥AB，FD=L ，如图所示。
试求此时猎犬的加速度大小
（3）承第二问，从此时开始计时，需多长时间，猎犬追上狐狸？
【例4】已知等距螺旋线在垂直轴方向的截面圆半径为R 曲率半径为ρ，一质点沿此螺旋线作匀速率运动。
已知质点在垂直轴方向的投影转过一周所用的时间为T 则质点沿轴方向的分运动速度大小为多少？
F D
B A
（3）求解天体运动问题的基本方法：
【例5】将一天的时间记为T ，地面上的重力加速度为g ，地球半径记为R e 。
1．试求地球同步卫星P 的轨道半径R p ；
2．赤道城市A 的居民整天可看见城市上空挂着同步卫星P ；
（1）假设P 的运动方向突然偏北转过450，试分析地判定而后当地居民一在能有多少机会可看到P 掠过城市上空？
（2）取消（1）问中的偏转，改设P 从原来的运动方向突然偏西北转过1050，再分析地判定而后当地居民一天能有多少次机会可看到P 掠过城市上空？
3．另一个赤道城市B 的居民，平匀每三天有四次机会可看到某卫星Q 自东向西掠过该城市上空，试求Q 的轨道半径。
【例6】在完成登陆任务后，登陆艇自某行星表面升空与飞船会合并与飞船一起绕行星做圆周运动，其速率为v ，飞船与登陆艇的质量均为m ，行星的质量为M ，万有引力恒量为G 。
（1）求飞船与登陆艇绕行星做圆周运动的周期与轨道半径R 。
（2）在启动返程时，飞船上火箭做一段时间的喷射，使登陆艇和飞船分离，且分离方向与速度方向平行，若分离后飞船恰能完全脱离行星的引力。
求刚分离后登陆艇的速率u 。
（3）飞船和登陆艇在火箭喷射过程中共获得的机械能E ∆。
[本题所有答案以G 、M 、m 与v 表示之]
【例7】如图所示，卫星P 绕某行星Q 沿偏心率为e 的椭圆运动，周期为T 0，当P 在近Q 点时，在极短时间内有一质量是Q 的质量a 倍的小天体和Q 发生非弹性碰撞，碰撞过程中质量的损失可忽略。
Q 仍近似处理为不动，求P 沿轨道运动的周期。
【例8】设行星轨道为椭圆，且开普勒第二定律成立，假设万有引力αGMmr F =（α待定），
（1）设太阳在椭圆的一焦点之上，求α
（2）设太阳在椭圆的中心，求α。