x
2x
即得到
x x 3 vt 2
显然三角形的边长是以 3 v的速度缩短的。
2 三角形的边长缩短至零的时间即为所求时间：t
3
l 2v
2l 3v
.
思考题1：此类问题亦可进一步推而广之，假设有个 人同时从边长为的正边形顶点出发，以相同速率运动， 运动中始终保持1朝着2，2朝着3，……(n-1)朝着 n,n朝着1,试问经过多少时间相遇？
VD
VD
VD' 2 D'
θ
' 2
抛体运动中的边界和最值问题
例题：迫击炮和目标位于同一水平面上，它们之间有高为h的小山。 迫击炮到山顶的水平距离为a目标到山的距离为b。试求为击毁目标 炮弹必需具有的最小初速度以及发射角（空气阻力不计）
如何找到切入点呢？ 思维的障碍在哪里？ 小山？
x 0 cost
P’ N
150
300
M
O
l
P
拓展：如图的示，MN为竖直墙，平面镜OB绕O的垂 直于纸面的水平轴以恒定的角速度ω转动，在墙上的A 点发出一水平光线投射到OB上，并被反射到墙上D点。 设∠AOC=θ,AO=d,求D的速度。
D的速度方向总是向上，大小则等于OD长度的变化
率
OD OD'
'
d
cos2
tg 2
g
3，4，5，6颗子弹和第1颗子弹相遇的时刻
方法二：速率对称法 竖直上抛物体上升和下降经过空中同一位置时，速度总是大 小相等，方向相反
(0 gt) 0 g(t n)
t 3 n 2
方法三：利用图象法 作出子弹的运动的s-t图
拓展：杂技演员表演抛四球游戏时，每隔相等的时间就抛出一球， 若空中总有三球，手中总有一球，假设各球上升的最大高度都是 1.25m，求每个球在手中停留的时间及当此人接住第一球时，其 它三球的高度
设每经过Δt 的时间后三角形的边长依次缩短为：
A1B1C1 ： l1， A2B2C2 : l2， ……， AnBnCn ： ln . 当ln 0时，三演员相遇。 如图，依据小量近似有
l1 A1B1 l AA1 BB1 cos 60 l vt vt cos60
l vt 1 vt l 3 vt
高中物理竞赛培训——运动学部分
一、数形结合处理竖直上抛
对于某些较难求解的问题，按数形结合的思想分析处理， 物理过程将大大简化，计算快速便捷。竖直上抛的统一物理 公式是
x
0t
1 2
gt
2
位移实际上是时间的二次函数，其图像是抛物线。
例题一个以30m/s的初速度将小球上抛，每隔1秒抛出一球，
假设空气阻力，可以忽略不计，而且升降的球并不相碰，问（1） 最多能有几个球在空中？（2）设在t=0时将第1个球抛出，在哪 些时刻它和以后抛出的小球在空中相遇而过？
h
1 2
gt 2
h0
1 2
gt02
利用的辅助条件 h0 1
h
49
t0
1t 7
可见放电影时应将模型运动时间“放大”7倍，才能使人们看电影时欣赏到逼真
的画面。为此，在拍摄电影时，拍摄的走片速度应为放映时走片速度的7倍。
24张/ 秒7 168张/ 秒
又设实物在某段时间△t内以速度υ通过位移△s，而模型与之对应的量则分别是时间△t0 、
证明：
任取一条轨道PQ，PQ和水平面夹角为φ.
PQ的长为 l 2Rsin
下滑的加速度 g// g sin
所以
tPQ
2l g//
4Rsin 2 R
g sin
g
由于 tPQ 与φ无关，故对应任意轨道的时间均相同。
P g//
g φ Qφ
最速路径：例题1
解原题： 以P为顶点作一球面，使其与所给球面相切于Q， 则线段PQ即为所求的轨道。 （1）作图确定线段PQ：
1
(h
ab ab
)
2
h ab ab
h a(1 a )tg
ab
tg1
h
ab ab
例题：从离地面上同一高度h，相距L的两处同时各抛出一个石块： 一个以初速度V1竖直向上抛；另一石块以速度V2水平抛出。求这两 个石块在运动过程中它们之间的最短距离？（两个石块初速度位于 同一竖直平面内）
y
0
sin
t
1 2
gt
2
消去t
x a b, y 0 y
xtg
gx 2
202
(1
tg 2 )
要击中目标，满足什么条件？ 说明什么？
0
(a
b)tg
g(a b)2
202
(1
tg 2 )
y x(1 x )tg
ab
y x(1 x )tg
ab
当α为从0到π/2范围内的不同值时，得到所 有的一切轨道。
分析：每个球上升的最大高度都是1.25m，故各球在空中运动的时间都是1s
要使空中总有三球，手中总有一球，故当抛第四球时，要求第一 球恰好回到手中，位移抛物线如图所示，
各球在手中停留的时间都是1/3s
学生练习：一杂技演员，用一只手表演抛球、接球。每隔0.4s 抛出一球，接到球后便立即把球抛出。已知除正在抛、接球的 时刻外，空中共有四球，球上升的最大高度。
速度υ0 、位移△s0 ，由于有
t0
1 7
t
s0
1 49
s
0 s0 / t0 1 s / t 7
二、最速路径问题
何谓最速路径问题？ 著名的“伽利略最速路径问题”：1 伽利略的答案：圆弧曲线（错误） 伯努利兄弟的答案：滚轮曲线的一部（分正确）
最速路径问题
➢寻找一条运动时间最短的路径 ➢从两条路经中找出运动时间较短的一条
在运动过程中三位演员的位置有什么关系？ 三位演员任何时候的位置均构成正三角形。但
B 诸三角形的边长越来越短。
最后三位演员在何处相遇？
三位演员最终在三角形ABC的中心相遇。此时三 角形边长缩短为零。
研究三角形的边长的变化情况，设法找出 三角形边长由l 缩短为零所用的时间！！
将从开始到相遇的时间t分为n份小量时间Δt：
x2 2 ptg p 2 0
xA xB 2 ptg
xAxB p2
xA xB
cos
(xA xB )2 4xAxB
cos
2p
cos2
1 g sint 2
2
渡河中的流速线性变化问题
例题：河流宽度为L，流速与离岸的距离成正比，岸边流速为零， 河中心流速为v0，一小船以恒定的相对速度vr垂直于流速方向， 从一岸驶向另一岸，试求小船的运动轨迹。
分析：手中无球时，空中球的个数即为表演用的球的个数，因此 本次表演共有4个球，由于不计球在手中停留的时间，因此可画出 当第一个球恰好回到手中时，各球在空中的分布情况。
如图，第3个球位于最高点，2、4两球等高，由于上半 段平均速度小，下半段平均速度大，故2、4两球位于 半高度的上方。
每个球空中的循球周期
t
(1
cos
2
)
n
思考题2：假如演员的速率不变，加速度的大小如何变化？
a 3 2
2
光反射定律的类比应用
某些质点的运动类似光的反射现象，若应用光的反射定 律可使复杂的问题得到简单的求解。
例题、 如图，光滑水平面上两根刚性细杆OM、ON成15°夹角交于O点，小球在 OM的内侧与O相距l=20cm的P点处，以与MO成30°角方向的初速朝ON杆运动，初速度 大小为v0=10cm/s. 试问小球能否回到P处？若能，则须经多少时间回到P处？
tmin 2
g
Hg
相关变换：竖直平面内建立直角坐标系xoy，x轴水平，过抛物 线x2 =2py的焦点弦是一刚性的光滑轨道，一小物块从轨道上 端A无初速释放，问滑到轨道底端B所用时间最小为多少？此时 AB与水平面的夹角满足什么条件？
焦点F（0、p/2)
AB的直线方程 y p tgx
2
x2 2 py
问题1、如图所示，地面上有一固定的球面， 球面的斜上方P处有一小球。现要确定一条从P到 球面的光滑倾斜直轨道，使小球从静止开始沿轨 道滑行到球面所历的时间最短。
分析： 先凭直觉猜一猜结果？
A
B P
× ？？ ？
最速路径：例题1
先讨论
预备问题、 如图，地面附近有一空心球，过顶点 P有很多光滑直轨道抵达球内表面。试证明小球沿任意 轨道从静止出发到达球内表面所花的时间相同。
接下去的转折点在哪呢？
当α为π/4时，标出的轨道为 y x(1 x ) ab
在满足什么条件下这条轨道从山的上方通过？为此，求当轨道上x=a这点的高度
h1
a
ab
h1
a(1
a
) b
a
b
y x(1 x ) a b h a b ab
h ab ab
0min
g(a b) 0min
gab 2h
x2 (vt)2 ( x vt)2 2(vt)(x vt)cos60 x2 3xvt 3v2(t)2 略去二阶小量得：
x2 x2 3xvt
x vt x
x
由此式来研究在Δt时间内三角形边长的缩短 量（x - x′）！进而找出缩短的速率！
由此式有
x
x(1
3vt
)
1
2
x(1
3vt
)
解：小球作的是匀速折线运动。
P’’
可将小球的运动类比为光线在平
面镜M、N之间的反射。
而光线经镜面反射后的行进等效 于光线沿原入射方向的行进。
因此光线在两平面镜之间的不断
P’ N
反射可等效为光线沿PP′直线传播。
由于POP 415 60，所以PPO 900，