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例2 已知5个投资方案如下表，试 确定4个评价指标的权重。
方案
目标
A1 A2 A3 A4 A5
投资额 5.20 10.08 5.25 9.72 6.60
期望净现 5.20 6.70 4.20 5.25 3.75
风险盈利 4.73 5.71 3.82 5.54 3.30
风险损失 0.473 1.599 0.473 1.313 0.803
模糊分布法将隶属函数看成一种 模糊分布，首先根据问题性质选取适 当的模糊分布，然后再依据相关数据 确定分布中的参数。
下面简要介绍模糊分布中常用的 梯形分布。
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(1) 偏小型
y 1
1, x a,
A
x



b b

x a
,
a

x

b,
0, x b.
第4讲 模糊综合评价
一、引 言
现实世界中的许多现象和关系具 有不确定性。这些不确定性的表现形 式多种多样，如随机性、灰色性、模 糊性和粗糙性等。
模糊数学正是利用模糊集及其运 算研究、处理模糊不确定现象和关系 的数学分支学科。
许多数学建模问题包括模糊现象
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和关系，这类问题往往可以用模糊数 学方法处理。

0.323,
v2 0.227, v3 0.228, v4 0.544
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从而，4项评价指标的权重为
1 0.244,2 0.172,
3 0.173,4 0.412.
需要指出的是，用变异系数法求
出的某指标的权重与该指标在评价体
系中的重要性是两个概念。
由于模糊集中没有元素和集合间
的绝对隶属关系，所以模糊集的运算
是通过隶属函数完成的。
设模糊集A,B的隶属函数为A x, B x，则A与B的常用运算有
(1) 包含：A B A x B x (2) 相等：A B A x B x
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0 0.5
0.4 0.3
0.5 0.2
0.1 0

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3. 评价指标权重的确定
确定了模糊综合评价矩阵，尚不
足以对事物做出评价。原因在于，各
评价指标在评价目标中有不同的地位
和作用，即各评价指标在综合评价中
占有不同的权重。
通常引入一个模糊向量A=(a1, a2, …,an)来表示各评价指标在目标中所
对一个事物的评价通常要涉及多 个因素或多个指标，评价是在多因素 相互作用下的一种综合评判。
综合评价是数学建模竞赛中较为 常见的问题，如长江水质的评价与预 测(2005A), 艾滋病疗法的评价及疗效
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的预测(2006B), 2010上海世博会影响 力的定量评估(2010B)。
综合评价的方法众多，常用的有 灰色评价法、层次分析法、模糊综合 评价法、数据包络分析法、人工神经 网络评价法、理想解法等。有时，还 可将两种评价方法集成为组合评价方 法。
反映了被评价事物从不同的指标评价
对各等级的隶属程度。用权
事物从总体上对各等级的隶属程度，
即模糊综合评价结果。
通常采用所谓“模糊合成”来实
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上述综合，基本思想是：对评价矩阵 R和权向量A进行某种适当的模糊运 算, 将两者合成为一个模糊向量B={b1, b2,…,bn}，即B=AoR，然后对B按照一 定法则进行综合分析后即可得出最终 的模糊综合评价结果。
……
……
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28 29 30
解 “长” 是模糊概念，可用模
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集描述。
设 xi 表 示 第 i(i=1,2,…,30) 条 线 段 , 则论域 U={x1, x2,…, x30}。
若A为“长线段”的集合，则线 段xi作为集A的成员资格，就是xi对A 的隶属度。
下面建立A的一种隶属函数。 因为线段越长，属于A 的程度越
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变异系数法的设计原理是：若某 项指标的数值差异较大，能明确区分 开各被评价对象，说明该指标的分辨 信息丰富，因而应给该指标以较大的 权重；反之，若各个被评价对象在某 项指标上的数值差异较小，那么这项 指标区分各评价对象的能力较弱，因 而应给该指标较小的权重。
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常用的模糊合成算子 o有：
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m
(1)
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R2=(0.1,0.3,0.5,0.1)，R3=(0,0.1,0.6,0.3), R4=(0,0.4,0.5,0.1), R5=(0.5,0.3,0.2,0)。
由此可得模糊综合评价矩阵为
0.2 0.5 0.3 0

0.1
0.3
0.5
0.1

A 0 0.1 0.6 0.3
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(3) 交：C A B C x
A x B x (4) 补：AC AC x 1 A x
(5) 内积：A e B A x B x xU
(6) 外积：A B A x B x xU

d

x
,
c

x

d
d c
0, x d.
Oa b c d x
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偏小型一般适用于描述“小”、 “少”、“浅”、“淡”等偏向小的 程度的模糊现象；偏大型正好与偏小 型相反；而中间型一般适用于描述处 于中间状态的模糊现象。
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三、模糊综合评价
评价是人类社会中经常性的、极 为重要的认识活动。
其表示 x 属于A的程度。映射
x U A x[0,1] 称为A的隶属函数，函数值 A x 称
为x对A的隶属度。 显然，每个元素都有隶属度的集
合即为模糊集。确定模糊集的关键是
构造隶属函数。
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下面举例说明如何构造隶属度。 例1 从下列30条线段中选出长线 段。
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占权重，称之为权重向量。其中ai为
ui的权重，且满足 ai ? 0, ai 1。
确定权重通常有主观和客观两类
方法。主观法的代表是层次分析法。
客观法是根据各指标间的联系，利用
数学方法计算出各指标的权重，如质
量分数法、变异系数法等。
下面用实例介绍变异系数法。
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各种评价方法出发点不同，解决 问题的思路不同，适用对象不同，各 有优缺点。
不同的评价方法会产生不同的评 价结论，有时甚至结论相左，即综合 评价的结果不是唯一的。
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模糊综合评价作为模糊数学的一 种具体应用，最早由我国学者汪培庄 提出。基本思想是：以模糊数学为基 础，应用模糊关系合成原理，将一些 边界不清、不易定量的因素定量化， 从多个因素对被评价事物隶属等级状 况进行综合评价。具体步骤为：首先 确定被评价对象的因素集和评价集，
O
a
bx
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(2) 偏大型
0, x a,
A
x



x b

a a
,
a

x

b,
y
1, x b.
1
Oa b
x
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(3) 中间型
y 1
0, x a,

x

a
,
a

x

b,
A
x



b
a 1,
b x c,
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2. 构造模糊综合评价矩阵
在确定了评价指标和评价等级后，
接 着 就 要 对 每 个 评 价 指 标 ui (i=1, 2,…m) 逐一进行模糊评价。
具体评价方法是：对评价指标ui 给出其能被评为等级vj的隶属度rij。 rij可理解为指标ui对于等级vj的隶属 度，通常要将rij归一化以便于使用。
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因为方差可以描述取值的离散程 度，即某指标的方差反映了该指标的 的分辨能力，所以可用方差定义指标 的权重。
由于方差的大小是相对的，还需 考虑指标取值的大小、量级，故指标 的分辨能力可定义为
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vi si xi 解 根据变异系数法，可按照下列
步骤确定各指标的权重：
(1) 计算第i项指标的均值与方差
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设指标ui的模糊评价为ri=(ri1,ri2, …, rin)，则对所有评价指标ui(i=1,2,…, m) 进行的模糊评价构成的矩阵
r11 r12 L r1n
R
rij


r21
mn M
r22 L MO
r2n

M

rm1
rm 2
L
rmn
对 象 的 m 种 因 素 ， 即 评 价 指 标 ； V= {v1,v2,…,vn} 为 刻 画 每 一 因 素 所 处 状 态的n种评语，即评价等级。
这里，m为评价因素的个数，通 常由具体指标体系决定; n为评语的 个数，一般划分为3～5个等级。
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例如，某服装厂欲采用模糊综合
变异系数法的作用只是提高指标
的分辨能力，利于排序。