r1 / Ty r /T 2 y r3 / Ty z w X d Tx / Ty X d r4 / Ty r5 / Ty r /T 6 y
定标算法
定标步骤: 1.利用径向一致约束来求解R, Tx , Ty 和
s
p( X d , Yd )
共线，与
op
平行或斜率相等.
像机模型
xw
O
zw
yw
世界坐标系和摄像机坐标系的关系
z
v u
x
x r1 xw r2 y w r3 z w Tx y r4 xw r5 y w r6 z w Ty z r x r y r z T 7 w 8 w 9 w z
2、摄相机标定方法分类
• 传统摄像机标定方法
• 基于交比不变的摄像机畸变系数标定
1）传统的摄像机标定方法
特点
利用已知的景物结构信息。常用到标定块。
1）传统的摄像机标定方法
• 优点
可以使用于任意的摄像机模型，标定精度高
• 不足
标定过程复杂，需要高精度的已知结构信息。 在实际应用中很多情况下无法使用标定块。
L
AL ||
为
|| AL ||
p11 X w p12Yw p13Z w p14 p31uX w p32uYw p33uZ w p34u 0 p21 X w p22Yw p23Z w p24 p31vX w p32vYw p33vZw p34v 0
L向量的比例有意义
给出约束： p34
1
L' (C T C ) 1 C T B
L' 为 L 的前11个元素组成的向量， 为 A 前11列组成的矩 C 阵， 为 A 第12列组成的向量。 B
摄像机内外参数求解
p11 p34 p21 p31
p p34 p p
摄像机标定
1、引言：什么是摄像机标定 2、摄像机标定方法的分类 3、传统摄像机标定方法
1、引言
摄像机标定的目的：三维重建
三维重建：摄像机标定的主要目的，也是计算机视觉的最 主要的研究方向. (Marr 1982)，所谓三维重建就是指从图象 出发恢复出空间点三维坐标的过程。
摄像机标定：建立摄像机图像像素位置与场景点位置之间 的关系，其途径是根据摄像机模型，由已知特征点的图像 坐标求解摄像机的模型参数。 三维重建的三个关键步骤 •摄像机标定：单个像机 •图象对应点的确定：双目
DLT变换
直接线性变换是将像点和物点的成像几何关系在齐次坐标下 写成透视投影矩阵的形式：
X w X w u Y Y s v K R t w P34 w Zw Zw 1 1 1
x t x u0t z y t y v0t z
tz
p34 p3 r3
1 p34 p3
是正交单位矩阵的第 三行，行列式为1
摄像机内外参数求解
p p34 p p
T 1 T 2 T 3
p14 x 0 p24 0 y 1 0 0
tz
r3 p34 p3 u0 ( r u r )r3 p p p3
T x 1 T 0 3 2 34 T 1 2 T v0 ( y r2T v0 r3T )r3 p34 p2 p3 2 x p34 p1 p3
r1 r1
x
p34 p34
( p1 u0 p3 ) ( p2 v0 p3 )
R3r13 , r23 , r33
1 3
2
R2r12 , r22 , r32
向量 R1 ,R2 , R3 是两两 垂直的单位向量
由 cos 2 1 cos 2 2 cos 2 3 1
3.2、R. Tsai 的 RAC的定标算法
80年代中期Tsai提出的基于RAC的定标方法是计 算机视觉像机定标方面的一项重要工作，该方法的 核心是利用径向一致约束来求解除 （像机光轴方 向的平移）外的其它像机外参数，然后再求解像机 的其它参数。基于RAC方法的最大好处是它所使用的 大部分方程是线性方程，从而降低了参数求解的复 杂性，因此其定标过程快捷，准确。
' p34 p31t
' 显然在一般的情况下 p34 p34
DLT变换
另一个约束
2 2 2 p31 p32 p33 1 具有旋转和平移的不变性
R1 r11 , r21 , r31
P3 ( p31, p 32 , p33 )
•二图象间摄像机运动参数的确定：单个像机运动
坐标系
1、世界坐标系：
X w , Yw , Z w
Xw
Zw Yw
2、摄像机坐标系： X c , Yc , Z c 3、图像坐标系:
u, v x, y
Xc
Ow
世界坐标系
x u v
O1
图像坐标系
Zc
y
O
Yc
摄像机坐标系
图像数字化
O1在 u, v 中的坐标为 u 0 ,v0 象素在轴上的物理尺寸为 dx, dy
u0 v0 1
r1T 0 T r 0 2T r 0 3 0
tx T T x r1 u0 r3 ty y r2T v0 r3T tz r3T 1
x t x u0t z y t y v0t z
2）基于交比不变的摄像机畸变系数标定 • 特点：将畸变参数单独进行标定
• 优点：算法简单，与其它内外部参数分离 • 缺点：误差受样本点的影响
3、摄像机传统标定方法
3.1、DLT方法 3.2、RAC方法 3.3、张正友的平面标定方法(ICCV, 1999)
3.1、直接线性变换（DLT变换）
Abdal-Aziz和Karara于70年代初提出了直接线性变 换像机定标的方法，他们从摄影测量学的角度深入 的研究了像机图像和环境物体之间的关系，建立了 像机成像几何的线性模型，这种线性模型参数的估 计完全可以由线性方程的求解来实现。
其中 u,v,1 为图像坐标系下的点的齐次坐标，X w , Yw , Z w 为 P 3 4 s 世界坐标系下的空间点的欧氏坐标， 为 的透视投影 矩 阵， 为未知尺度因子。
DLT变换
P34
p11 p12 p13 p14 pij p21 p22 p23 p24 p31 p32 p33 p34 su p11 X w p12Yw p13 Z w p14 sv p21 X w p22Yw p23 Z w p24 s p X p Y p Z p 31 w 32 w 33 w 34
y
t z m34 tx ty
y p p2 p3
2 34
x
p34 p34
( p14 u0 ) ( p24 v0 )
y
DLT变换
p34 1 是否合理？
约束 p34 1 不具有旋转和平移的不变性,解将随着世 界坐标系的选取不同而变化. 证明： 世界坐标系作刚性坐标变换 P ' P 0 1 则
T 1 T 2 T 3
p12 p22 p32
p13 p23 p33
p14 x 0 p24 0 y 1 0 0
u0 v0 1 r1T 0 T r2 0 T r3 0 0
u0 v0 1
p14 x 0 p24 0 y 1 0 0
tx x r1T u0 r3T ty y r2T v0 r3T tz r3T 1
r11 r12 0 r21 r22 0 r31 r32 0 0 0
r13 t x r23 t y r33 t z 0 1
o'
由径向约束
oc
y
x X d r1 xw r2 yw r3 zw Tx y Yd r4 xw r5 yw r6 zw Ty
移项得：
xwYd r1 ywYd r2 zwYd r3 YdTx xw X d r4 yw X d r5 zw X d r6 X dTy
Affine Transformation :
V
Yd
yd
xd yd cot u u0 dx dx yd v v0 dy sin
f u cot f v / sin 0
v0
C

u0
fu 1 1 , fv dx dy
O1
xd
Xd
U
齐次坐标形式:
u f u v 0 1 0 u 0 xd v0 yd 1 1
其中
摄像机的内参数矩阵 K
xw u ffu ffu cot u0 v 0 ff / sin v R t y w zc v 0 zw 1 0 0 1 1 K
DLT变换
p11 X w p12Yw p13Z w p14 p31uX w p32uYw p33uZ w p34u 0 p21 X w p22Yw p23Z w p24 p31vX w p32vYw p33vZw p34v 0
当已知 N 个空间点和对应的图像上的点时，可以得到一个 含有2* N 个方程的方程组：
消去 s ，可以得到方程组:
p11 X w p12Yw p13Z w p14 p31uX w p32uYw p33uZ w p34u 0 p21 X w p22Yw p23Z w p24 p31vX w p32vYw p33vZw p34v 0