T K K
T M M
其中
李兹（Ritz）法
求出n自由度系统的前s阶主振型 正交性
0 i T j ( a )M a 1
i T j i T T
i i A a
i 1 , 2 , , s
i j i j
A 0 1 2 s
M A 0 Ⅰ
D M
将A0代入动力矩阵中进行迭代，并对 各列阵分别归一化
目的是使 Ⅰ 比A0含有较强的低 阶振型成分，缩小高阶成分
按李兹法求出
AⅠ
A a Ⅰ Ⅰ Ⅰ
以求出的 A Ⅰ 作为假设振型进行迭代
MA Ⅱ Ⅰ
再按李兹法求出 A
A a Ⅱ Ⅱ Ⅱ
子空间迭代法的几何解释
从几何观点上看，原n阶特征值系统有n个线性无关的特征矢 量，它们之间是正交的，张成一个n维空间。
1 2 n A 、 A 、 、 A
而假设的s个线性无关的n维矢量张成一个s 维子空间，
、 、 、 1 2 s
迭代的功能是使这s个矢量的低阶成分不断地相对放大，即向 1 2 s 、 A 、 、 A 张成的子空间 A 靠拢。
多自由度系统的数值计算方法
——子空间迭代法
子空间迭代法
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子空间迭代法对求解自由度数较大系统的较 低的前若干阶固有频率及主振型非常有效。
李兹(Ritz)法
A a a a 1 1 2 2 s s
, , , 1 2 s 是选取的s个线性独立的假设振型
j
0 i j ( AM ) A ( a ) M a 1 i j
李兹(Ritz)法是一种缩减系统自由度数的近似方法
矩阵迭代法求第一阶固有频率和主振型
动力矩阵
1 ( M 2 I)A0 p
选取某个经过归一化 的假设振型A0
D M
MA 1 A 2 p
子空间迭代法的几何解释
如果只迭代不进行正交化，最后这s个矢量将指向同
一方向，即A(1)的方向。
由于用李兹法作了正交处理，则这些矢量不断旋转， 最后分别指向前s个特征值的方向。 即由张成的一个s 维子空间，
、 、 、 1 2 s
1 2 s 经反复地迭代正交化的旋转而逼近于由 A 、 A 、 、 A
Aa
T T a K a 2 R (A ) T T p Ⅰ a M a
a a a a 1 2 s 1 2 s
T
n s 矩阵
s维待定系数
采用取驻值的方法求系数a…
n个自由度缩减至s 自由度！
2 K a p M a 0
所张成的子空间。
子空间迭代法的优点

可以有效克服由于等固有频率或几个频率非常接 近时收敛速度慢的困难。
与其他方法相比，具有精度高和可靠的优点。

因此，它已成为大型复杂结构振动分析的最有
效的0 1 1
再以A1为假设振型进行迭代， 并且归一化得到A2
A 1 A 0
D A a A 1 2 2
若A 2 A 1 ，则继续 重复上述迭代步骤
A 直至 A k k 1 时停止
ak
1 p2
D A a k 1 kA k
子空间迭代法
按照李兹法，可假设s个振型且s＞P