存在性与恒成立问题
1.已知函数f(x)=⎩
⎨⎧ln(1-x) x<0(x-1)3+1 x≥0 ,若存在x 0,使得f(x 0)<ax 0成立，则实数a 的取值范围是 （－∞，0）⋃ （34
,+∞） 。

解析:分别作函数f(x) =⎩
⎨⎧ln(1-x) x<0(x-1)3+1 x≥0 和g(x)=ax 0的图像，数形结合观察。

结合计算可求。

依题意知，函数f(x) =⎩⎨⎧ln(1-x) x<0(x-1)3+1 x≥0 的图像可以在函数g(x)=ax 的图像的下方。

易知当a<0时恒满
足，当a=0时直线为x 轴，不可能成立，当a>0时，
在第一象限，直线必须在f(x)图像切线的上方。

不妨设切点为（x 0,(x 0-1)3+1）,f ’(x)=3(x-1)2,故
a=3(x 0-1)2,切线方程为：y-[(x 0-1)3+1]= 3(x 0-1)2(x-x 0)
由切线过原点（0，0），得x 0=32 ,代入得a=34
,综上可得实数a 的取值范围是（－∞，0）⋃ （34 ,+∞） 。

2.若关于x 的不等式20x xe ax a -+<的非空解集中无整数解，则实数a 的取值范围是（ B ）
（A ）221[,)53e e （B ）1[,)34e e
（C ）1[,]3e e （D
）[]4e e 解析：原不等式可化为xe x <a(2x-1)，依题意，不等式有解且解集中不含整数。

不妨设f(x)=xe x ，g(x)=a(2x-1),则函数f(x)=xe x 的图像必须有部分在函数g(x)=a(2x-1)图像的下方，且交点之间不含整数。

由f ’(x)=e x (x+1)知当x<-1时，f(x)为减函数，当x>-1时，f(x)为增函数.注意到x<0时f(x)<0,f(0)=0,函数g(x)的图像是经过
（12
，0）的直线。

作图如下：由图可知直线的斜率必须小于切线的斜率，且f(-1)≥
g(-1),即－1e ≥ -3a,得a≥ 13e
,由此可判断选B 。

求上限计算方法同题1.
3.已知函数f(x)=3mx-1x
-(3+m)lnx ，若对任意的m ∈ (4,5),x 1,x 2∈ [1,3],恒有（a-ln3）
m-3ln3>|f(x 1)-f(x 2)|成立，则实数a 的取值范围是 [376
,+∞） 。

解析：由f(x)= 3mx-1x -(3+m)lnx,且m ∈ (4,5)得：x ∈ (1,3)时f′ (x)=3m+1x 2 -3+m x
=(3x-1)(mx-1)x 2 >0，则f(x)在[1，3]上单调递增，则任意1,x 2∈ [1,3],恒有（a-ln3）
m-3ln3>|f(x 1)-f(x 2)|成立，即为（a-ln3）m-3ln3>|f(x 1)-f(x 2)|max =f(3)-f(1)=6m+23
-(3+m)ln3，则(a-6)m-23 >0对任给m ∈ (4,5)成立。

即⎩
⎨⎧4(a-6)-23 ≥ 05(a-6)-23 ≥ 0 ,解得a≥376 ,故实数a 的取值范围是 [376
,+∞）。