s +
2bs e es
伈
。
} 一
e
s
耳
-
= - ·
1 (l -
s
= - tanh .1 -e-2bs s 2
e-fo )
2
l
—
bs
习题二
I.. 求下列函数的拉氏变换 式
( I)
f (t) = t 2 + 3t + 2
f(t)=(t -1)切
(2) J(t) = l-te'
t (4) 八） ＝ — sin at
-
(s .l )
(S +
3 3 =- - e S S
+
1 e s 2 $
(
) .1
e
($
“ +L 2
、）
· 1
g 工户
十
工
工
子
孚
2
1
2
2
. I
$
+.1
订，
-
=- - - e 2s s
3
3
卫~l
s +1
2
e
竺
2
o>
& u·(1)J= fo.,,,[e2'+ sou)
I
k" dt =f "'e2'e-"dt +sI。f(t)产dt
(3)
2a
<s) f (t) = tcosat
(6) f (t) = 5sin 2t-3cos2t
-4-
(7 ) 八） = e-21
sin 6t
<8)
/
(t) = e-4' cos 4t
( 9) 凡） = t"e"'
0) J(t) = u(3t - 5) (1
e3' ( 12) 几） ＝ —
( 1 1 ) 八） =u(!-e一' )
e
-(s+ 2)t
- (s + 2)
Io
十
=
t s+2
o
( Res > - 2)
s2 。
-st l = — = -— s3 e t= O s2
2
如
2
( Res> 0)
}
+oo
0
sin2te-stdt= - f [ e-(s-2i)t _ e一(s+2i)t] dt 4i 0 - , :2;) = s'~4 (Re, >0)
&加）] = &[t cos at] = 一 五& [cos at] = - c
2 : a2
l
= (:22: : 22
(6) & [r(t)]=& [5sin2t - 3 cos2t]=5& [sin2t]- 3& [cos2t] =
(7)
IO 3s I0 - 3s = s2+4 s2+4 s2+ 4
& [八）] = I = l - ,-, ·1
, _ ;-2芯 I。“心 s'dt = I 一 ；立心 fJin t 产dt
"ei1_ e-i1 2; l ,-• d1 =I-,-,
飞i
心 石[ +:r- -(,.:r]
1 e一(s一i)t r
e屯+ i)I
I"
=1-e 压 石(s-i
4 求下列各图所示周期函数的拉氏变换
2
(5) & [ f (t)] = Jo+ "'sinh kte-stdt =f。如 e
＝；（勹s~飞 -·~;::IJ 飞(6-奇卢
-l -
、,
= i h kt. '
(7)/ (t) = cos2t;
一 ,,
i\
I
'
[ / () t ] =
f
如
O
sm2e-s,dt = fo
(s ·1 I 2
、丿
. t
3. 设 J(t) 是 以 江 为周 期的函 数，且在一 个周 期 内 的表达式为
凡） = {5in t,
0,
冗<
0 < t~ 冗 t < 2冗
， 求& [r(t)]
-2-
解
周期为 T 的函数 j切 的拉氏变换为
&
因此有
[/(t)} = l- e-sr I 『 八少st dt,{Res > 0) o
&员）~ = & [e-21sin6t]=
6
(s +2)2 +36
这里 有
& [sin 6t] =
再利用位移性质得到
6
s2 +36
(8) 同 (7) 利 用& [cos4t]=
s
s2+16
及位移性质
& [r(t)口[ e-4' cos4t] ==
s+4 (s +4)2 +16
( 9) 利用& [t· ]= ___±_及位移性质得 , +I
3,
O~t < 2
t <
冗一 2
0,
2 SI< 4; t;:: 4 .
(2)
J(t) ={ 3' cost,
t>
冗一 2
(3) f (t) = e2' +5o(t} ;
解
(4) J(t) = o(t)cos t - u(t)sin t
~ 3e-st ( 3e-s' ,~1 ( I) & [r(t)] = I:"" f(t)e-SI dt = I.。>e-s'dt-Ji e-stdt = 0+ 2=- (3-4e-2' +e-~') -s s s (2) & [r(t)] = l厂八I)e-,, di = 3e-stdt +fi心 COS{·e-stdt
。
J切= {
由 公式
1, - I,
0 S:t < b b s; t < 2b
f(t)e -" dt = ＆屈）］ ＝ l- e-2bs ）广 -2bs (Io e-sldt + 庄巾-''dt) O . 1- e b l __ |21 b
b
=
SI le e
l
ibs
-
I __ S
e SIb
s
_i
l
l
e
(3)
C -
d2 d & [八t)] = &[ (t - 1)2 / ] = &[ (t2 - 2t + l)/ ] =—& [e' ] +2 — &[e1] + &[i ] 2 ds ds
=
s2 -4s+5 (s - 1 )3
(4) (5)
1 d 1 &加）］＝ ＆［卢sin at] 士& [tsinat] = 一五忑& [sin at] = 一百（三叶 (s2:a2)2
I
= — + 5厂的尸dt =— +se-'' I心 = s-2 s - 2 _,,,
5s- 9
s -2
(4) & [ / (t)] = f女如 5 ( t) -cost · e-s'dt - f
+oo
o
I s2 sin te-s'dt = COSt ·e-s' I - 1 = I= 1=0 s2 + I s2+1 s2+ I
如 (e 2
-e
2 )e咄
dt
=
L(e
g
e
i( sJ I 2
、丿
rlllllllllll ($ I _g
dt =
e
o
. I
e
( s+
t _+8
I -
与
与
2+
2
飞[,~1一言］飞::ti:t)
=
$
，今
1
1
0
、丿
s _ 2
s _ 2
一
. l
－凶
如
－凶
-
_ 2+
4
l-= 4s? - +l
2
(Res> 0)
伪 [- ~主产 - 1)] = 1- : 加 妢 -bse-bs : 21- e-bs - bs
可
b
＝罕S
f(t)=sint,
O ~t< 冗
-3-
& [兀） ] =
I r sinte-Sldt= 1-e-bs O
l
1- e一汀s
I
I +e吓
I + s2
=
I + s·
· ,, coth
冗S —
2
(3) 由图可知 几）是周期 T = 4a 的周期函数在一个周期内 1
= 丿 F(乌
a a
特别&
3. 若& [/(t)] = F(s) , 证明 F'"\s)=& [(- t)"f(t)], Re(s) > c 。 f(t)
[tf(t)]= - F'(s),
或
I =- & - t[F'(s) ] ,
t